Matematikadan masalalar to'plami (Skanavi)

Mazkur kitob o'tgan asrning 70-90 yillarida oily o'quv yurtlariga kirish imtihonlari uchun matematikadan yozma va og'zaki misol va masalalar to'plamidan iborat qo'llanma sifatida chop etilgan. Katta avlod vakillari bu kitobning ahamiyati va qadrini juda yaxshi bilishadi. Nisbatan nashr eskirgan bo'lsa-da, ammo uning ahamiyati va dolzarbligi hech qachon yo'qolmagan. Aksincha fanda o'ziga xos mavqe'ga ega bo'lgan mumtoz qo'llanma darajasida bugungi kunda ham o'z qadriga ega hisoblanadi. Kitobda Matematikaning barcha yo'nalishlari - arifmetika, algebra, trigonometriya, progressiyalar, birlashmalar nazariyasi, Nyuton binomi, algebraik tenglama va tengsizliklar, logarifmlar, matematik analiz, planimetriya, streometriya, bo'limlari bo'yicha, har bir bo'lim uchun A va B guruhlarga bo'lingan holda 100-150 dan misol yoki masalalar keltirilgan. Kitobda jami bo'lib matematikaning turli yo'nalishlari bo'yicha 3000 ga yaqin turli qiyinlik darajasiga ega misol va masalalr mavjud. Mazkur kitob matematika yo'nalishida imtihonlar topshiruvchi abiturientlarga uzoq yillar benazir va beqiyos manba bo'lib ximat qilgan, hozirgi kunda ham kollej va maktab o'quvchilariga mazkur kitobdagi masala va misollarni yechish orqali o'z bilimlarini mustaxkamlash, zehnlarini sayqallashlarini tavsiya etamiz.

Xristian Gyugens. Qadimgilar ko'rmagan egri chiziq haqida

Xristian Gyuygens (1629-1695) fanda bevosita Galileyning izdoshi edi. Lagranjning so'zi bilan aytganda Galileyning muhim kashfiyotlarni mukammalashtirish va rivojlantirish Gyuygensga nasib etdi.

Gyuygens birinchi marta Galileyning g'oyalari bilan qanday tanishgani haqida hikoya mavjud: 17 yoshli Gyuygens yuqoriga otilganjism parabola bo'ylabharakat qilishini isbotlamoqchi bo'ladi, ammo Galileyning kitobida isbotini ko'rib, Gomerdan so'ng Iliadani yozishni istamadi. Galileyning ilmiy yo'li, qiziqishlari Gyuygensga qanchalik yaqinligi kishini hayratga soladi. Ba'zan yoshargan Galiley o'zining kuzatish trubasini mukammallashtirayotgandek, qirq yil oldin to'xtatilgan astronomik kuzatishlarni davom ettirayotgandek tuyuladi. U ancha kuchli teleskop yordamida uchta birlashgan yulduz kabi ko'rinuvchi Saturn sirini ochmoqchi bo'ladi va nihoyat, 92 marta kattalashtiruvchi teleskopda (Galileyniki 20 karrali edi) kuzatib, yonidagi yulduzlar deb Saturnning halqasi qaralganini payqaydi. U yana 1610-yili ko'ndalang qilib qo'yilgan masala yer va Yupiterdan farqli sayyoralarda yo'ldoshlar mavjudmi degan masalaga qaytadi. U vaqtda Galiley Medichi ga boshqa sayyoralarda yo'ldoshlar topilmaydi, Medichi uyidan (Yupiterning yo'ldoshlari uning sharafiga qo'yilgan edi) boshqa birorta ham shoh uyi xususiy yulduzga ega bolishni orzu qilmasa ham bo'ladi, - deb yozgan edi. Gyuygens 1655-yili Saturnning yo'ldoshi Titanni kashf etdi. Ehtimol, davr o'zgargandir, Gyuygens o'zi kashf etgan yo'ldoshni birovga sovg'a tarzida taklif etmadi.

Harorat shkalalari

Termometrik moddaga bog'liq bo'lmagan harorat shkalasi "Termodinamik harorat shkalasi" (ba'zan uni "Mutloq harorat shkalasi" yoki "Kelvin shkalasi" deb ham atashadi). Bu shkala ingliz fizigi

U. Tomson (Lord Kelvin) tomonidan XIX-asr o'rtalarida fanga tavsiya etilgan. Kelvin termodinamik harorat shkalasi bitta asosiy tayanch nuqtaga - suvning qattiq, suyuq va gaz fazalaridagi holatlarining termodinamik mutanosiblashgan nuqtasi - suvning uchlanma nuqtasiga asoslanadi. Termodinamik harorat - T belgisi bilan ifodalanadi. Termodinamik harorat birligi - Kelvin, K belgisi bilan ifodalanadi. Suvning uchlanma nuqtasining termodinamik harorati 273.16 K ga teng. 1 kelvin esa, suvning uchlanma nuqtasi termodinamik haroratining 1/273.16 qismiga teng. Suvning uchlanma nuqtasi termodinamik harorati maxsus laboratoriyalarda, bug', muz va suyuq holatdagi suvni germetik ampulada termodinamik mutanosiblash yordamida amaliy tajribalarda aniqlanadi.

Shamol tezligini vizual baholash uchun Bofort shkalasi

Jadvalda shamol tezligining yerdagi jismlarga yoki ochiq dengizdagi to'lqinlarga ta'siriga qarab tahminiy baho berishning Butunjahon meteorolgiya tashkiloti tomonidan qabul qilingan o'n ikki balli Bofort shkalasi keltirilgan. Shamolning o'rtacha tezligi ochiq va tekis yuzadan standart 10 metr balandlikda ko'rsatilgan.

Kosmik tezliklar

Birinchi kosmik tezlik - jismning sayyora tortish kuchini yengib chiqib, uning sun'iy yo‘ldoshiga aylanishi uchun berilishi zarur bo‘lgan eng kichik boshlangich tezlik. Ba'zan "Birinchi kosmik tezlik" jumlasi o‘rniga "aylanish tezligi" jumlasi qo‘llaniladi.

Ikkinchi kosmik tezlik - jismning sayyora yoki boshqa osmon jismlarining tortish kuchini butunlay yengib chiqib ketib, lekin Quyosh tizimida qolishi uchun berish kerak bo‘lgan zarur bo‘lgan eng kichik boshlang‘ich tezlik. Ba'zan ikkinchi kosmik tezlikni Parabolik tezlik yoki halos bo‘lish tezligi deyiladi. Chunki, bu tezlikka erishgan jism, o‘zi turgan osmon jismi tortish kuchidan halos bo‘ladi.

Uchinchi kosmik tezlik - jismning avval Yer, keyin esa Quyoshning tortish kuchini yengib, Quyosh tizimini butunlay tark etishi uchun yetarli bo‘lgan eng kichik bo‘shlang‘ich tezlik.

Al Xorazmiy

Hayoti

Abu Ja'far Muhammad in Muso al-Xorazmiy - dunyo ilm faniga mislsiz ulkan hissa qo‘shgan alloma, Algebra fani va Algoritm terminlarining “otasi”, buyuk matematik, tarixchi, falakkiyotshunos, geograf sifatida butun dunyoga mashhur. Buyuk alloma vatandoshimizning shaxsiy hayoti haqidagi ma'lumotlar nihoyatda kam miqdorda saqlanib qolgan.

Manbalarda ko‘rsatilishicha Al Xorazmiy 783 yilda Xorazmda tavallud topgan. Bu davr musulmon sharqida ilmiy uyg‘onish, ilm fanning gurkirab rivojlanayotgan davri bo‘lib, al-Xorazmiy Movarounnahr va Xorazmdagi o‘z zamonasining yetuk olimlaridan ilm tahsil qiladi. U qadimgi hind va yunon ilm fani bilan mukammal tanishib, ular asosida va o‘z ilmiy tadqiqotlari bo‘yicha risolalar yozishni Xorazmdaligida boshlagani ma'lum.

Atmosfera bosimining kashf etilishi

Havoning moddiy mavjudligi insoniyatga qadimimdan ma'lum. Eramizdan avvalgi VI-asrda yashagan yunon faylasufi Anaksimen havo barcha unsurlarning asosi deb hisoblagan. Shu bilan birga havo odam ko'zi ilg'amas qandaydir kuchga ega, xuddiki moddiyatdan holi (ushlab, hidlab yoki ko'rib bo'lmaydigan) "ruh"ga o'xshaydi deb fikr bildiradi. Qadimgi dunyo allomalari - Demokrit, Epikur va Lukretsiylar havoning modda xususiyatiga shubha qilmaganlar va ular havoning yumaloq shakldagi mayda zarralar - atomlardan tuzilgan degan ta'limotni ilgari surganlar. Bundan tashqari ular inson qalbi ham atom tabiatiga ega ekanligini, qalb atomlari favqulodda yengil va kamharakat ekanligini ta'kidlaganlar. Aristotel havoni tabiatni tashkil etuvchi asosiy to'rt unsurdan biri sifatida e'tirof etar ekan, u havoning vazni mavjudligini va bu vaznni uning o'zi ichiga havo puflangan va puflanmagan sharlarning vaznini o'lchash orqali tajribada isbotlaganini yozadi. Aristotel siyrak havoli bo'shliq (manfiy bosimli)ning so'rish xususiyatini yaxshi bilgan va bu faktdan "Tabiat bo'shliqdan qo'rqadi" degan o'zining mashhur noo'rin iborasini asoslagan. Reron esa havo mayda zarrachalardan iborat va ular kichik bo'shliqlar orqali bir biridan alohidalangan deb ta'kidlaydi. U siyrak havoli fazoda "katta bo'shliq" lar bo'lishi mumkinligini inkor etgan va buni tabiat qonunlariga zid deb tushuntirgan. Shuni ta'kidlash kerakki, ko'plab pnevmatik asboblarning dastlabki ixtirochisi aynan Reron hisoblanadi.

"Buyuk San'at"

1545-yili Jerolamo Kardanoning (lotincha "Arsmagna" deb nomlangan) kitobi bosilib chiqdi. Kitob asosan 3-va 4-darajali tenglamalarni yechishga bag‘ishlangan edi. Ammo uning matematika tarixidagi ahamiyati bu muayyan masala chegarasidan ancha chiqnb ketdi. XX-asrda Feliks Klyayn kitobni baholab, bunday deb yozgan edi: "Bu eng yuqori darajadagi qimmatbaho asar, qadimgi matematika chegarasidan chikuvchi hozirgi zamon algebrasining kurtagiga ega".

XVI-asr Yevropa matematikasi uchun o‘rta-asr tushkunligidan keyingi uyg‘onish-asri bo‘ldi. Buyuk yunon geometrlarining ishlari ming yillar davomida unutilgan, bir qismi esa yo‘qotilgan edi. Yevropaliklar arabcha matnlardan faqat Sharq matematikasi haqida emas, balki qadimgi matematika haqida ham xabardor bo‘lishdi. Yevropada matematikaning tarqalishida savdogarlar katta rol o‘ynagani xarakterli, ularning safarlari axborot yig‘ish va uni tarqatish vositasi edi. Ayniqsa Pizalik Leonardo (1180-1240) alohida ajralib turadi, u ko‘proq Fibonachchi (Bonachchining o‘g‘li) sifatida mashhur edi. Uning nomi ajoyib son ketma-ketligi (Fibonachchi sonlari) orqali abadiylashtirilgan. Fan eng yuqori darajasini juda tez yo‘qotishi mumkin. Uni tiklash uchun esa-asrlar talab qilinadi. o‘sha Fibonachchida so‘zsiz ajoyib kuzatishlar natijalari bo‘lsa-da, Yevropa matematiklari muttasil uch-asr o‘quvchi bo‘lib qoldi. Faqat XVI-asrdagina Yevropa matematikasida qadimgi dunyo matematiklari ham, Sharq matematiklari ham bilmagan prinsipial ahamiyatga ega bo‘lgan matematik natijalar yuzaga keldi. Gap 3-va 4-darajali tenglamalarni yechish haqida boryapti.

Bir tonna yog'och og'irmi, bir tonna temir og'irmi?

Bir tonna yog'och og'irmi, bir tonna temir og'irmi? - degan hazilakam savol hammaga ma'lum. Odatda o'ylamasdan turib, bir tonna temir og'ir degan javobni beradilar, bu qaltis javobdan o'tirganlar o'rtasida qahqaha ko'tariladi. Agar bir tonna temirdan ko'ra bir tonna yog'och og'ir degan javob berilsa, hazilkashlar yana ham qattiqroq kulgi ko'tarishsa kerak. Bunday deyish kelishmagandek ko'rinadi, lekin qat'iy aytganda - shu to'g'ri javob!

Masala shundaki, Arximed qonuni faqat suyuqliklar uchungina emas, balki gazlar uchun ham to'g'ridir. har bir jism havoda o'zi siqib chiqargan havoning og'irligicha o'z og'irligidan "yo'qotadi". Temir ham, yog'och ham o'z og'irligini, albatta qisman yo'qotadi. Ularning asl og'irligini topish uchun yo'qotilgan og'irlikni qo'shish kerak. Binobarin, bizning misolimizda yog'ochning asl og'irligi = 1 tonna + yog'och hajmidagi havoning og'irligi; temirnnng asl og'irligi = 1 tonna + temir hajmidagi havoning og'irligi. Ammo bir tonna yog'och bir tonna temirga qaraganda ancha (deyarli 5 marta) katta hajmni ishg'ol qiladi, shuning uchun bir tonna yog'ochimnzning asl og'irligi bir tonna temirning asl og'irligidan ko'proq! Aniqroq qilib aytmoqchi boo'lsak, shunday deyishimiz kerak edi: havoda bir tonna keladigan yog'ochning asl og'irligi havoda bir tonna keladigan temirning asl og'irligidan ko'proq

Bir tonna temir 1/8 kub metr, bir tonna yog'och esa 2.5 kub metr joyni ishg'ol qilganidan ular siqib chiqargan havoning og'irligi o'rtasidagi ayirma 2.5 kg ga yaqin bo'lishi kerak. Bir tonna yog'och bir tonna temirdan haqiqatda mana shuncha og'ir!!!