Fraktallar geometriyasi: jozibador va beto‘xtov olam

Bir necha asrlar mobaynida matematika Yevklid geometriyasining ajoyibotlari olamiga maftun bo‘lib yashadi. Lekin, bugungi zamon matematikasi o‘ziga boshqa bir mahbub yo‘nalish – fraktallar geometriyasini kashf qilgan.
Fraktallar geometriyasi bizning qarshimizda borliqning butunlay yangi jozibasini ochib bermoqdaki, hayratlanmaslikning iloji yo‘q.

Tasavvur qiling, biz O‘zbekistonning Turkmaniston bilan chegarasi uzunligini xaritaga qarab aniqlamoqchimiz. Buning uchun biz, chegara chizig‘i bo‘ylab ikki nuqta orasidagi masofani oddiy chizg‘ich bilan o‘lchab, keyin, olingan natijani, xaritaning miqyos-masshtab bilan taqqoslab, chegaraning umumiy uzunligini chiqarishimiz mumkin bo‘ladi. Natijada, biz chegara uzunligining taxminiy, taqriban yaqin qiymatiga ega bo‘lamiz. Albatta, bu asl real chegara uzunligining eng aniq o‘lchanishi, yoki, hisoblanishi bo‘la olmaydi. Bu masofani aniqlashning yana bir usuli – sirkul olib, uning ignalari oraliq masofasini 1 sm qilib aniq belgilab qotirib, xarita bo‘ylab chegarani boshidan oxirigacha qadamlab o‘lchab chiqish.

Bunda, oxirida sirkulning barcha qadamlari soni yig‘indisi chiqariladi va bu orqali, chegaraning umumiy uzunligini hisoblash mumkin bo‘ladi. Bu usul bilan olingan natija, avvalgisidan ko‘ra aniqroq bo‘ladi. Lekin, chegara tep-tekis aniq to‘g‘ri chiziq bo‘lmaganligi sababli, biz sirkulni har safar burib, yangi nuqtaga orientir olayotganimizda, chegaraning hamma qismini ham qamrab ololmasligimizni tushunib boramiz. Agar xarita batafsilroq bo‘lsa, unda biz sirkul qadami o‘lchamini biroz kichraytirib turib, notekis chiziqli, burama-egri chiziqli chegara liniyalarini ham qamrab olgan holda, yanada aniqroq natijaga ega bo‘lishimiz mumkin. Hatto, bir mamlakat hududining ikkinchisi ichkarisiga turtib kirgan kichik yer uchastkasi ham aniq o‘lchab chiqishimiz mumkin bo‘ladi. Shu tariqa, tobora ma’lum bo‘lib boradiki, sirkul qadami orasi qanchalik mayda bo‘lsa, o‘lchash natijasi shunchalik aniq bo‘lib boradi.

Fraktallarning cheksiz uzunligi va o‘lchamligi

Endi esa, muhim bir paradoks: sirkul qadami orasi qanchalik mayda bo‘lsa, bizga chegara chizig‘i uzunligini o‘lchab chiqish uchun shunga muvofiq ko‘proq vaqt talab etiladi. Va «maydalashgan sari uzoqroq» qoidasidagi bu o‘yin cheksiz davom etishi mumkin. Chunki, biz chegaraning butun uzunligini sirkulning mayda qadamlariga borgan sari yana va yana maydaroq qadamlarga bo‘lish bilan cheksiz davom ettirishimiz mumkin. Agar siz chegara hududidagi qishloqlardan biri yaqinida havo sharida osmonga ko‘tarilib, chegaraga nazar solsangiz, siz o‘lchamoqchi bo‘lgan butun chegara uzunligini kichik bir bo‘lagidan iborat mitti modelini ko‘rishingiz mumkin. Biz bunday o‘lchashlarda, ayniqsa qog‘ozga tushirilgan proyeksiyalarda Yevklid geometriyasiga tayanib ish ko‘rishga o‘rganib qolganmiz. Lekin, haqiqiy holatda esa bunday o‘lchashlar uchun Yevklid geometriyasi bizga yordam bera olmaydi. Bu o‘rinda biz fraktal geometriyaga murojaat qilishimiz kerak. Yevklid geometriyasida obyektning o‘lchami tushunchasi intuitiv ravishda tushunarli narsadir: unda har qanday chiziq – bir o‘lchamli. Masalan, elektr simi faqat bir o‘lchamli – uning uzunligi bor xolos. Tekislik esa ikki o‘lchamli – masalan, stol yuzasi shunday. Sfera va shunga o‘xshash uch o‘lchamli jismlarni ham yaxshi bilamiz. Biz shuningdek, to‘rt o‘lchamli fazo haqida ham eshitganimiz bor (nisbiylik nazariyasiga ko‘ra, vaqt to‘rtinchi o‘lcham bo‘ladi). Fraktallarning o‘ziga xos tarafi shundaki, ularning o‘lchamligi butun son orqali ifodalanmaydi. Masalan, biz o‘lchamoqchi bo‘layotgan chegara chizig‘i o‘lchamligi 1 yoki, 2 emas, 1,25 bo‘lishi mumkin. fraktalning o‘lchamligini aniq aytish va matematikadan yiroq bo‘lgan oddiy til bilan tushuntirish biroz qiyin. Lekin, bu borada ham ayrim, intuitiv tushunarli jihatlar borki, mutaxassisligi matematikadan yiroq bo‘lgan odamlarga ham fraktallar haqida umumiy tasavvur bera oladi. Masalan, bir chegara chizig‘i 1,2 fraktal o‘lchamlikka ega bo‘lsa va yana boshqa biri 1,4 fraktal o‘lchamlik kasb etsa, bundan kelib chiqib, birinchi fraktal bilan belgilangan chegara chizig‘i nisbatan tiniqroq, ikkinchisi esa, biroz dag‘alroq ekanini xulosa qilish mumkin bo‘ladi.

Kantor to‘plami

Eng mashhur fraktallardan birini 1883-yilda, to‘plam nazariyasi muallifi Georg Kantor tomonidan tuzilgan. Bu fraktal quyidagicha yasaladi: to‘g‘ri chiziq olib, uni uchta teng qismga bo‘lamiz va o‘rtadagisini olib tashlaymiz.

Keyin xuddi shu jarayonni qolgan ikki qism bilan takrorlaymiz.

Va shu tarzda yana davom etamiz:

Endi, tasavvur qilingki, ushbu jarayon bir necha ming marta takrorlandi. Oxir-oqibatda biz, fraktal strukturaning eng mayda-mayda zarra shakllarini ham hosil qilamiz. Kantor fraktalining haqiqiy ahamiyatini matematiklar tushunib yetgunicha ancha vaqt kerak bo‘ldi, Garchi, tashqi ko‘rinishidan u unchalik ham jozibador fraktal bo‘lmasa-da, lekin, u eng ahamiyatli fraktallardan biri sanaladi. Xossatan, ushbu fraktalni Saturn halqalarining taqsimlanishi singari qiziqarli va muhim fizik hodisalarni o‘rganishga tadbiq qilinadi. Ekonometriyada, narx-navoning keskin o‘zgarishlari, yoki, raqamli aloqa tizimlarida tarmoqdagi xalaqitlarning yuzaga kelishi sabablarini o‘rganishda ham aynan Kantor fraktalidan foydalaniladi. Nil daryosining so‘ngi 2000 yil mobaynidagi sath o‘zgarishlari, yoki, Koinotda galaktika va yulduzlarning joylashish tartiblari ham fraktal strukturalar orqali ifodalanadi.

«Menger gubkasi»

Rasmda «Menger gubkasi» deb nomlangan fraktal. U kubdan, bundanda kichikroq kub qirqib olish orqali yasaladi. Keyin esa, undan ham yanada kichikroq kublar qirqib olinadi va jarayonni cheksiz davom ettirish mumkin. Menger gubkasi qiziq bir xossaga ega: uning sirt yuzasi cheksiz bo‘lib, hajmi esa, ichkaridan ham, tashqaridan ham nolga teng. Menger gubkasining fraktal o‘lchamligi 2,72684... ga teng. Bu ajoyib «pishloq» tirqishlar bilan shu darajada to‘lib ketganki, u uch o‘lchamlikka erisholmaydi. Hozirda, ushbu qiziq fraktal model asosida, maxsus antennalar ishlab chiqariladi.

Maftunkor Kox qorparchasi.

Bu fraktalni 1094-yilda shved matematigi Xelge fon Kox bayon qilib bergan. Uni teng tomonli uchburchakdan boshlab yasaladi va qorparchaning keyingi shakllanish jarayonining oxiri yo‘q. Rasmda Kox qorparchasini yasashning dastlabki 1,2,3,4 va 8-qadamlari ko‘rsatilgan bo‘lib, oxirida, istalgan marta kattalashtirilganda ham o‘z-o‘zini takrorlovchi strukturaga ega bo‘lgan ajoyib fraktal hosil bo‘ladi. Agar biz uning perimetrini aniqlamoqchi bo‘lsak, unda, sezish osonki, shaklning har bir qadamida, ushbu qadam hosil qiladigan yangi fraktal shakl perimetri avvalgisidan 4/3 martaga ko‘payadi. Agar, boshlang‘ich uchburchakning perimetri 3 sm bo‘lgan bo‘lsa, unda, keyingi qadamlar hosil qiladigan shakl perimetri 4; 5,33... ;7,11...; 9,48...; 12,26... va ho kazo tarzda kattalashib boradi. Egri chiziq uzunligi har bir qadam orqali yanada va yanada kattalashib boradi va demakki, Kox qorparchasining perimetri cheksizdir. Va aksincha, ushbu egri chiziq bilan chegaralangan yuza esa chekli bo‘lib, u 2√3/5 ga intiladi. Kox qorparchasining fraktal o‘lchamligi 1,2619... ga teng.