"Ko‘zlaringga ishonma" turkumidan:
Yerdagi va xaritadagi eng qisqa yo‘l qaysi?

Avvalgi maqolada xaritalarning asl voqe'lik bilan nomuvofiqliklari haqida suhbatlashgan edik. Ma'lum bo‘ldiki, proyeksiyalashdagi nisbatlarning proporsionalligiga faqat ekvatorda aniq rioya qilinar ekan. Shu sababli, Merkator xaritalarida shimoliy va janubiy qutbga yaqin joylashgan geografik obyektlar, aslidagidan ko‘ra kattaroq taassurot uyg‘otadigan tarzda ifodalanar ekan.

Lekin, geografik obyektlarning xaritada nomuvofiqliklar bilan ifodalanishi Merkator proyeksiyasidagi yagona g‘alati jihat emas. Undan ham qizig‘i shuki, geometriya o‘qituvchingiz zo‘r berib uqtirgan qonunni inkor etgan holda, Merkator xaritalarida ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofa to‘g‘ri chiziq bo‘lmaydi! Ha, bu haqiqatan ham shunday. Ishonmayotgan va nima uchun bundayligiga qiziqayotgan bo‘lsangiz, ushbu maqolani ham erinmay o‘qib chiqishni tavsiya qilaman.

Xaritadagi qisqa yo‘l to‘g‘ri chiziq bo‘lmasligining birinchi sababi - Yerning shar shaklida ekanligidandir. Shar sirtini esa (hatto uning ma'lum bir kichik qismini ham) tekislikda to‘liq ifodalashning iloji yo‘q. Baribir biror joyini buklashga yoki, qirqib, yoyishga to‘g‘ri keladi. Shu sababli ham, har qanday xaritada muayyan nomuvofiqliklar albatta mavjud bo‘ladi. Biz foydalanadigan oddiy xaritalarda parallellar ham, meridianlar ham to‘g‘ri chiziq orqali ifodalanadi. Aynan shu narsa, xaritalarda eng qisqa yo‘lni tanlash borasida chalg‘ituvchi yanglishliklarni keltirib chiqaradi. Keling, aniq misollarga murojaat etsak. Quyidagi xaritada Toshkent va Lissabon orasidagi masofani to‘g‘ri chiziq bo‘yicha va egri chiziq - yoy bo‘yicha o‘lchangandagi farqi yaqqol ifodalangan:

Xarita miqyosidan kelib chiqib, chizg‘ich va oddiy arifmetika orqali ma'lum bo‘lishicha, Toshkent va Lissabon orasidagi masofani xaritada to‘g‘ri chiziq bo‘ylab o‘lchansa, u ≈6675 km bo‘lib chiqar ekan. Ayni damda, onlayn xaritaning o‘zi, ya'ni, gugl-xarita servisi egri chiziq bo‘ylab olingan masofani ≈6443 km ekanini ko‘rsatib turibdi. Ya'ni, xarita bizni naq ≈232 km ga chalg‘itmoqda ekan.

Yana bir misol. Marg‘ilon shahri va Perudagi qadimiy Machu-Pikchu shahri orasidagi masofa xaritada to‘g‘ri chiziq bo‘yicha ≈16000 km ni tashkil qilarkan. Eng qisqa yo‘l esa, quyidagi xaritada ko‘rsatilgandek, xaritada yoy shaklida bo‘lib, ≈15449 km ni tashkil qilmoqda.

Bunda ham xarita bizni naq ≈500 km ga chalg‘itmoqda. Keling endi bizni chalg‘itayotgan tafsilotlarga chuqurroq nazar solamiz:

Sharning sirtida ikki nuqta orasidagi eng qisqa yo‘l ularni o‘zaro tutashtiruvchi yoy bo‘lib, u yoy albatta katta aylanaga tegishli bo‘lishi kerak. "Katta aylana" deganda, markazi shar markazi bilan ustma-ust tushadigan aylana nazarda tutiladi. Markazi shar markazi bilan mos tushmaydigan har qanday aylana "kichik aylana" deyiladi. Katta aylananing yoyi kichik aylananing yoyidan ko‘ra kamroq egrilangan, ya'ni, nisbatan tekisroq bo‘ladi. Boshqacha qilib aytganda, kattaroq aylana va kichikroq aylanalarning xar birdan bir xil burchak ko‘rsatkichiga ega bo‘lgan yoylari olinsa, masalan, 20° dan yoy olinsa, katta aylananing yoyi to‘g‘ri chiziqqa ko‘proq yaqinroq bo‘ladi. Kichik aylaning yoyi esa ancha egriroq bo‘ladi.

Xaritada ekvatordan boshqa hamma parallellar albatta kichik aylanalar bo‘ladi. Shu sababli ham, xaritalarda shaharlar orasidagi masofani belgilashda to‘g‘ri chiziq emas, ushbu shaharlar orqali o‘tadigan katta aylananing, shu shaharlar bilan chegaralangan yoyi eng qisqa yo‘l bo‘ladi. Buni tekshirish uchun, miqyosi aniq ko‘rsatilgan xarita va globus olib, bir kichik tajriba o‘tkazib ko‘rishingiz mumkin. Ya'ni, xaritada istalgan ikki shaharni olib, ular orasidagi masofani ip tortib, ya'ni, to‘g‘ri chiziq bilan o‘lchab olasiz. Endi, xuddi shu shaharlar orasidagi masofani globus orqali, ular orasiga ip tortib globus sirti bo‘ylab o‘lchab ko‘rasiz. Xaritangiz va globusingizning miqyoslaridan kelib chiqib arifmetik hisoblashlarni bajarib ko‘rsangiz, haqiqatan ham qisqa yo‘l - yoy ekaniga amin bo‘lasiz.

Arifmetik hisob-kitoblarga erinmaydigan mutolaachi, quyida keltiriladigan unchalik qiyin bo‘lmagan geometrik hisoblashlar orqali masalaning matematik mohiyatini to‘liqroq tushunib olishi mumkin.

Keling, hisoblash uchun 60° kenglikda joylashgan ikkita shahar orasidagi masofani olamiz (bunday shaharlar haqiqatda bormi-yo‘qmi. Shunchaki hisob kitob uchun buni ahamiyati yo‘q). Shaharlarni shartli ravishda A va B shaharlar deb belgilaymiz (rasmga qarang). Yer markazini O bilan belgilaymiz. Shunda A va B shaharlar orqali o‘tgan yoy esa, geometriya qoidalariga ko‘ra, AB yoy deb belgilanadi. Shaharlar o‘zaro 60° yoy masofada joylashgan. Shaharlar joylashgan kenglik aylanasi, ya'ni, parallel aylanasi markazi - C nuqta.

Endi shunday tasavvur qilamizki, markazi Yer markazi, ya'ni, O nuqtada bo‘lgan va A va B nuqtalar orqali o‘tuvchi katta aylana o‘tkazilgan. Uning radiusi R=OB=OA bo‘ladi. Mazkur katta aylana yuqoridagi rasmda ko‘rsatilgan AB yoy yaqinidan o‘tadi, lekin u bilan aniq ustma-ust tushmaydi.

Endi yoylarning uzunliklarini hisoblab topamiz. A va B nuqtalar 60° kenglikda joylashganligi sababli, OA va OB radiuslar OC bilan (Yer shari o‘qi bilan) 30° burchak hosil qiladi. ACO to‘g‘ri burchakli uchburchakning 30° burchagi qarshisida yotuvchi AC kateti (=r) uzunligi AO gipotenuzaning yarmiga teng. Ya'ni, r=R/2. AB yoyning uzunligi, ushbu yoy mansub bo‘lgan kenglik aylanasi uzunligining 1/6 qismiga teng. Mazkur kenglik aylana uzunligi esa, A va B nuqtalardan o‘tuvchi katta aylana uzunligiga nisbatan ikki barobar kichik bo‘ladi. Shunga ko‘ra, uning radiusi ham ikki barobar qisqaroq bo‘ladi. Shunga ko‘ra, kichik aylanadagi AB yoy uzunligi

ga teng bo‘ladi.

A va B nuqtalar orqali o‘tuvchi katta aylananing shu nuqtalar bilan chegaralangan yoyining uzunligini topish uchun, AOB burchakning kattaligini aniqlash zarur. Eslatib o‘taman, aynan ushbu yoy, mazkur nuqtalar orasidagi eng qisqa masofa bo‘ladi. Kichik aylanadagi 60° lik yoyni ajratib turgan AB vatar ayni paytda mazkur kichik aylanaga ichki chizilgan muntazam oltiburchakning tomonlaridan biri ham bo‘ladi. Shunga ko‘ra, AB=r=R/2 bo‘ladi. AB vatarning qoq o‘rtasida D nuqtani belgilab, u bilan Yer shari markazi, ya'ni, O nuqtani tutashtiruvchi OD to‘g‘ri chiziq o‘tkazsak, bizda ODA to‘g‘ri burchakli uchburchak hosil bo‘ladi. Uning D burchagi 90° ga teng. Shunga ko‘ra, DA=1/2AB va OA=R bo‘ladi.

Demak,

Sinusning 0.25 qiymatiga 14°28′5″ to‘g‘ri keladi. Demak, burchak AOD=14°28′5″, bundan, burchak AOD=28°57'.

Ushbu hisoblashlarga asoslanib, eng qisqa masofaning kilometrda ifodalangan qiymatini topish qiyin emas. Agar, katta aylana bo‘ylab 1’ yoy uzunligi bu bir dengiz miliga teng ekanini inobatga olsak, hisoblashlar yanada osonlashadi. Yodingizda bo‘lsa, bir dengiz mili bu - meridian aylanasining 1′ yoyi uzunligi bo‘lib, u 1852 metrga teng. Shunga asoslanadigan bo‘lsak, 28°57′=1737′=1737×1852≈3217 km.

Hisoblashlarimiz yaqqol ko‘rsatib turibdiki, A va B shaharlar orasidagi masofa kenglik aylanasining yoyi bo‘ylab o‘lchansa, (ya'ni, oddiy kartalarda to‘g‘ri chiziq bo‘ylab o‘lchansa) u 3333 km bo‘lib chiqmoqda. Katta aylana yoyi bo‘ylab o‘lchangan masofa esa undan naq 116 km ga qisqa ekani ma'lum bo‘ldi.

Qo‘lingizga ip olib, globus orqali ushbu hisob-kitoblarni tekshirib ko‘rishingiz mumkin va ularning to‘g‘riligiga ishonch hosil qilasiz.

Yuqorida keltirilgan sabablarga ko‘ra, oddiy xaritalarda to‘g‘ri chiziq bo‘ylab chamalangan masofadan ko‘ra, katta aylana yoyi bo‘ylab olingan masofa qisqaroq bo‘ladi. Ushbu masofalarni xaritashunoslar "loksodroma" va "ortodroma" deb ataydilar. Loksodroma - parallel yoyi bo‘ylab olingan masofa, ya'ni, xaritadagi to‘g‘ri chiziq bo‘ylab olingan masofa. Ortodroma esa - katta aylana yoyi bo‘ylab olingan masofa, ya'ni, shar yuzasidagi eng qisqa masofa bo‘ladi.

Aynan shu tafsilotlar tufayli Afrikaning Yaxshi Umid burni va Avstraliya janubidagi port orasidagi dengiz yo‘li, xaritada ko‘rsatilganidek, to‘g‘ri chiziq bo‘ylab olinsa 11150 km, ortodroma bo‘ylab esa 10052 km ni tashkil etadi. Ko‘rib turganingizdek, masofa oz-emas, ko‘p-emas, naq 1100 km atrofida farq qilmoqda.

Xuddi shunga o‘xshash, agar Londondan Shanxayga havo yo‘lini xaritada to‘g‘ri chiziq bo‘ylab tortsak, u Kaspiy dengizi va o‘rta Osiyo mamlakatlari orqali o‘tishi kerak bo‘ladi. Aslida esa, London-Shanxay reyslari Shimoliy Yevropa - Skandinaviya mamlakatlari bo‘ylab, Sankt-Peterburgdan ham shimolroqdan uchadi.

Dengiz yo‘llarida ortodroma bo‘ylab suzishning imkoni doim ham bo‘lavermaydi. Chunki, ortodroma bo‘ylab olingan yo‘lga qandaydir orollar yoki, aylanib o‘tish lozim bo‘lgan boshqa omillar to‘g‘ri kelib qolishi mumkin. Ba'zida ortodroma bo‘ylab olingan yo‘l shunchaki quruqlik ichkarisiga kirib ketadi va kemalarga bu yo‘l bo‘ylab suzishning umuman iloji bo‘lmaydi. Masalan, yuqoridagi xaritadagi misolda, ya'ni, Afrika va Avstraliyaning janubiy qirg‘oqlaridagi portlar orasidagi dengiz yo‘lida, ortodroma Antarktidaning muzqoyalari to‘la bo‘lgan janubiy Hind okeani chetlariga borib qolmoqda. Qolaversa, ortodroma bo‘ylab suzish, kema jamoasi uchun ham ko‘plab noqulayliklarni keltirib chiqaradi. Xususan, bunday suzishda kursni doimiy o‘zgartirib turish talab etiladi. Havo transportida borasida ham xuddi shunday omillarni keltirish mumkin.

Lekin ortodroma bo‘ylab harakatlanish imkoni bo‘lgan o‘rinlarda, bu yo‘l avvalo masofadan, ya'nikim, vaqtdan juda katta tejash imkonini beradi. Qisqa masofa bo‘ylab harakat esa o‘z navbatida yoqilg‘ini tejash ham demakdir. Xaritalarda ortodroma va loksodroma ustma-ust tushishining ham albatta imkoni mavjud. Ya'ni, tanlangan yo‘l bir vaqtning o‘zida, ham loksodroma, ham ortodroma bo‘ladi. Bu faqat xarita to‘g‘ri chiziq bo‘ylab ifodalangan meridianlar bo‘ylab suzishda, yoki, ekvator bo‘ylab suzishdagina imkonli bo‘ladi. Boshqa hamma holatlarda loksodroma garchi xaritada to‘g‘ri chiziq bo‘lib, qisqaroq ko‘rinsa-da, aslida har safar ortodromadan kattaroq bo‘ladi.

P.S. Maqolani tayyorlashda https://www.google.ru/maps xizmatidan foydalanildi.

Bizni ijtimoiy tarmoqlarda ham kuzatib boring:

Feysbukda: https://www.facebook.com/Orbita.Uz/