Astroida

Astroidaning yasalishi Astroida bu - R radiusli katta aylananing ichi bo‘ylab harakatlanadigan r (bunda r=R/4) radiusli kichik aylanadagi nuqtaning trayektoriyasi hosil qiladigan egri chiziq bo‘lib, kichik aylaning katta aylana ichida bir marta to‘liq aylanib chiqishidan yulduzsimon qavariq ko‘pburchak shakli paydo bo‘ladi. Boshqacha aytganda, astroida bu k=4 modulga ega bo‘lgan giposikloidadir. Ya'ni, katta aylananing diametri kichik aylananing diametrida 4 marta katta. Astroida atamasi yunon tilida "astros" ya'ni, yulduzsimon degan ma'nini anglatadi. Sababi astroidaning shakliy ko‘rinishi yulduzga o‘xshab ketishidir.

Astroida shakliga bo‘lgan qiziqish, tarixda turli zamonlarda turli avlod matematiklarini doimo o‘ziga jalb etib kelgan. Matematika tarixidagi eng kuchli olimlar ham ushbu ajoyib egri chiziqning qiziqarli xossalarini tadqiq etishga uncha-muncha mehnat mashaqqat sarf etishgan. Qayd etilgan manbalarda ushbu egri chiziqni birinchi bo‘lib Daniyalik astronom Olaf Remer batafsil tekshirgan deyiladi. Uning 1674-yilga taalluqli bo‘lgan va asosiy mazmuni tishli uzatmalarning eng samarador variantlarini tadqiq qilishga bag‘ishlangan ilmiy ishlarida astroida haqida batafsil matematik tahlillarni uchratamiz. Olaf Remerdan keyingi davrlarda astroidaning xossalarini shuningdek Shveytsariyalik buyuk matematik Iogann Bernullining 1691-yilga oid asarlarida; olmon matematigi Gotfrid Leybnitsning 1715-yilga taalluqli ishlarida va farang olimi Jan D'Alamberning 1748-yilga mansub izlanishlarida uchratish mumkin.

Astroida quyidagi

formula vositasida ifodalanadi. Bunda R - qo‘zg‘almas tashqi katta aylananing radiusi. Harakatlanuvchi kichik aylananing radiusi esa R/4 ekaning aytib o‘tdik. Astroida tomonlarining uzunligi 6R ga teng bo‘ladi. Astroida bilan chegaralangan yuza esa 3·R²/8 ga teng bo‘ladi. Shunisi qiziqki, astroidaning yasalishida ikkita aylana ishtirok etishiga qaramay, 6R uzunlikning qiymati, hech qachon π soniga bog‘liq bo‘lmaydi.

1725-yilda matematik Daniil Bernulli shuni aniqladiki, astroidani nuqtaning harakat trayektoriyasi orqali ifodalash mumkin ekan va bu nuqta harakatlanuvchi kichik aylanada joylashgan bo‘lib, mazkur aylaning diametri, tashqi katta aylananing diametrining 3/4 qismini tashkil etar ekan.

Fizikada astroida energiya va magnetizmning turli xossalarini tadqiq qiluvchi Stoner-Volfart modelida qo‘llaniladi. Xususan, AQSH davlatida №4987948 raqami bilan ro‘yxatga olingan patentda shunday deyiladi: "Astroida egri chizig‘i o‘ziga ekvivalent bo‘lgan aylana yoyi singari kuchlanishning juda yaxshi tarqatib yuborilishini ta'minlaydi. Shu bilan birga bu orqali materialni manbadan ushlash masofasini eng qisqa holatga keltirishga imkon beradi. Ya'ni, yanada mustahkam strukturalarni olishga imkoniyatini beradi". Ta'kidlash joizki, mazkur patent rolikli mexanik muftalarni eng samarali shakllarini tayyorlash bo‘yicha olingan bo‘lib, zamonaviy mexanikadagi eng ajoyib texnik yechimlardan biri sanaladi. Bu ham bo‘lsa, kimlargadir zerikarli va murakkab ko‘rinadigan matematik-geometrik yasashlarning amaliy ahamiyati aslida qanchalik yuqoriligini ko‘rsatmoqda.

Astroidaning badiiy tasviri