Orbita . U Z

Muayyan sonlarning transsendentligining isboti, xususan 2^√2 uchun.

Gilbert muammolari ro‘yxatidagi yettinchi masalaning sharti aynan shunday yangraydi. Agar muayyan son butun koeffitsiyentli ko‘phadning ildizi (yechimi) bo‘lsa, u algebraik son deyiladi. Masalan 2/3 – algebraik sondir. Chunki u 3x=2 tenglamaning yechish orqali aniqlanishi mumkin. Har qanday ratsional son algebraik son bo‘ladi. Biroq, irratsional sonlar ichida ham algebraik, xususan √2 (u x²-2=0 tenglamaning yechimi hisoblanadi) kabi, hamda noalgebraik, xususan Ï€ va e kabi sonlar mavjud. Aynan shunday (Ï€ va e kabi) turkumdagi sonlarni transsendentlar deyiladi. Sonning transsendentligini isbotlash juda mushkul. Agar biz natijasi aynan biz ega bo‘lib turgan son bo‘luvchi butun koeffitsiyentli tenglamani topa olmasak, bu baribir amalda shunday tenglama yo‘q degan xulosani bermaydi. Gilbert quyidagicha masalani ko‘rib chiqishni taklif qilgan: agar α (α≠0, α≠1) algebraik son bo‘lsa, β esa irratsional son bo‘lsa, unda α^β ning transsendentligini isbotlash mumkinmi?

1934-yilda olimlar Aleksandr Gelfond, Teodor Shnayder va Karl Zigellar, β ning algebraik son bo‘lgan xususiy holat uchun Gilbert tasdig‘i o‘rinli ekanini ko‘rsatib berishdi. Ular 2^√2 va e^π ning transsendentligini isbotlay olishdi. Garchi 7-raqamli ushbu masalada umumiy hol uchun Gilbert sharti bajarilmagan bo‘lsa-da, lekin aynan ma’ruzadagi shart uchun masala hal etilgan deb qaraladi.