Orbita . U Z

Kantorning kontinuum-gipotezasining isboti.

Ro‘yxatdagi birinchi masala Kantorning kontinuum gipotezasi bilan bog‘liq bo‘lib, unda to‘plamlarning elementlari miqdori haqida so‘z boradi. Masalan {a,b,c,d} to‘plam 4 ta elementga ega bo‘lib, uning quvvati 4 ga teng deb olinadi. To‘plam quvvati tushunchasi, gap cheksiz miqdordagi elementlar soniga ega bo‘lgan to‘plamlar haqida so‘z borganda alohida ahamiyat kasb eta boshlaydi. Masalan, natural sonlardan iborat bo‘lgan to‘plamning quvvati, juft sonlar to‘plamining quvvati P ga teng. Ushbu tasdiqni isbotlash uchun, to‘plamlar orasida o‘zaro bir ma’noli muvofiqlikni o‘rnatish kerak. Har bir natural son uchun, shu songa mos ravishda ikkiga ko‘paytirilgan qiymatni berib chiqsak: 1→2, 2→4, 3→6... ga ega bo‘lamiz.

Shunday qilib, qancha juft sonlar bo‘lsa, natural sonlar ham aynan shuncha bo‘ladi. Kantor natural sonlar to‘plamining quvvatini ℵ₀ bilan belgilagan. Shunday qilib, |N|=ℵ₀ deb yozish mumkin.

1 va 2 sonlari orasida boshqa hech qanday butun son yo‘q. Ayni vaqtda, haqiqiy sonlar to‘plami cheksizdir. Barcha haqiqiy sonlar to‘plamining quvvati R ning qiymati N dan katta bo‘lishi mantiqan to‘g‘ridek ko‘rinadi. Kantor buning amalda ham aynan shunday ekanini isbotladi va R to‘plam quvvatini kontinuum deb nomlab, uni c harfi bilan belgiladi.

Eslatib o‘tamiz, sonlarning to‘plamlari ketma-ketligi quyidagicha ko‘rinishga ega:

N⊂Z⊂Q⊂R

Bunda Z bilan butun sonlar to‘plami, Q bilan ratsional sonlar to‘plami va R bilan haqiqiy sonlar to‘plami ifodalangan (natural sonlar to‘plami - N). Natural sonalr to‘plami butun sonlar to‘plamining ichki to‘plami, o‘z navbatida butun sonlar to‘plami ham ratsional sonalr to‘plamining ichki to‘plami, ratsional sonlar to‘plami esa, haqiqiy sonlar to‘plamining ichki to‘plami hisoblanadi. Agar ℵ₀<c bo‘lsa, ya'ni, natural sonlar to‘plami elementlarining soni, haqiqiy sonlar to‘plami elementlasining sonidan qat’iyan kichik bo‘lsa, quyidagicha savol kelib chiqadi: oraliq quvvatlar ham mavjudmi? Kantor bu oraliqda hech qanday son mavjud emas deb taxmin bildirgan. Boshqacha aytganda, R to‘plamning istalgan cheksiz ichki to‘plami A ning quvvati, yoki ℵ₀ ga, yoki c ga teng bo‘ladi. Kantorning aynan shu gipotezasi kontinuum-gipoteza nomini olgan.

Ushbu gipotezaning amaliy mohiyatiga va umuman uning haq ekanligiga shubha qiluvchi ko‘plab g‘arazli matematiklar mavjud bo‘lib, ularing e’tiroz va qoralovlariga qaramasdan, Gilbert ushbu gipotezani o‘z ro‘yxatiga 1-raqam bilan kiritdi. Chunki Gilbert o‘zi ushbu gipotezaning haqligiga ishonardi. U mazkur gipoteza dushmanlariga qarata bir safar shunday degan edi: «Qanchalik urinmangiz, bizni Kantor qurgan ko‘shkdan quvub chiqara olmaysiz!»

Umuman olganda to‘plamalar nazariyasining butun asosi, Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimi ustiga qurilgandir. Ular standart aksiomalar deyiladi. 1938 yilda buyuk matematik olim Kurt Gyodel kontinuum-gipotezani Sermelo-Frenkel tizimi doirasida inkor etishning iloji yo‘qligini isbotladi. 1966 yilda esa Pol Koen, kontinuum-gipotezani isbotlash uchun Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimining o‘zi kifoya qilishini isbotladi. Shu tarzda, kontinuum-gipotezani to‘plamlar nazariyasining standart aksiomalar tizimi doirasida inkor etishning ham, isbotlashning ham iloji yo‘q.

 

Buyuk nemis matematigi Kurt Gyodel rafiqasi Adel Gyodel bilan nikoh to‘yi kunida. Gyodelga olamshumul mashhurlik keltirgan ilmiy ishi, 1931-yilda e'lon qilingan to‘liqsizlik teoremasiga bag‘ishlangan maqolasi bo‘lgan edi. Shuningdek aynan Gyodel, Gilbert ro‘yxatidagi 1- va 2-raqamli masalalarni, ya'ni, kontinuum-gipotezani Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimi doirasida inkor etib bo‘lmasligini hamda arifmetika aksiomalarining o‘zaro zid emasligini, arifmetikaning o‘z uslublari orqali isbotlab bo‘lmasligini isbotlagan (ya'ni, ikkinchi masalani yechimga ega emasligini isbotlagan).