Orbita . U Z

"Ulug‘ san'at". Del Ferro qog‘ozlari bilan tanishishmi, Ferrarining qattiq tazyiqimi, yoki to‘g‘rirog‘i ko‘p yillik mehnat natijalaridan voz kechishni xohlamaslikmi, Kardanoning kubik tenglamalar xaqida hamma bilganlarini 1545-yili nashr etilgan "Ulug‘ san'at yoki algebraning qoidalari haqida" kitobiga kiritishga olib keldi. Uni qisqacha "Ulug‘ san'at" deb atay boshlashdi.

So‘z boshida Kardano masala tarixini bayon etadi: "... bizning davrimizda Stsipion del Ferro noma'lum kattalikning kubi plyus o‘sha noma'lum kattalik biror songa teng, degan formulani kashf etdi. Bu juda chiroyli va ajoyib ish edi. Bu san'at insoniyatning barcha abjirligidan va oddiy kishining eng o‘tkir aqlidan yuqori, demak uni Tangrining muruvvati deb, shuningdek inson aqli kuchining qobiliyati deb qarash lozim va u shunchalik sharafli kashfiyotki, bunga erishganlardan barcha masalalarni yecha olishlarnii kutish mumkin. Bizning Breshiyalik do‘stimiz Nikkolo Tartalya, del Ferroning Antonio Mario Fiore ismli o‘quvchisi tomonidan musobaqaga chaqirilishi, musobaqada yengilib qolman deb o‘sha masalani, yechdi, uzoq iltimoslardan keyni uni menga berdi. Men Luka Pacholining bunday tur tenglamalarning umumiy yechimi yo‘q deganiga asoslanib adashib yurgan ekanman, aslida men o‘z kashfiyotlarim orqali ko‘p narsa bilardim, shunday bo‘lsada, o‘zim topa olmagan narsani topishdan umidimni uzmadim. Ammo, bu bobni olib, uning yechimini ko‘rganimda, uning yordamida yana ko‘p narsalar qilish mumkinligini ko‘rdim. Tekshirish paytida o‘z ishimga qattiq ishonib, keyingi kashfiyotlarimning bir qismini o‘zim, bir qismini sobiq o‘quvchim Luidji Ferrari bilan qildim".

(1) tenglamaning Kardano topgan yechish usulini modernizatsiyalashgan  ko‘rinishda  quyidagicha bayon etish mumkin.  (1)  tenglamaning yechimini x=β—α ko‘rinishda qidiramiz. U holda х+α = β va

x³ + 3x² α + 3x α ² + α ³= β ³.                             (4)

3x²α+3xα² = 3хα (х+α) =3хαβ

bo‘lgandan (4) tenglikni ushbu ko‘rinishda yozish mumkin:

x³ + 3αβx = β³—α³ (5)

(α, β) juft bo‘yicha (α, β) juftni shunday tanlashga harakat qilamizki, bunda (5) tenglik (1) bilan mos tushsin. Buning uchun (α, β) juft 3αβ =α,  shuningdek,  β ³— α ³ +b sistemaning yoki unga teng kuchli  β³—α³ = —α³/27 ;  β³+(—α³) = b sistemaning yechimi  bo‘lsin.   Viet   teoremasiga  ko‘ra  β³—α³ yordamchi kvadrat tenglama y-by- a³/27=0 ning ildizlari bo‘ladi. (1) tenglamaning musbat ildizlari  izlanganidan  β>α bo‘ladi. Demak,

Binobarin,

a va b musbat bo‘lsa, ildiz x ham musbat bo‘ladi.

Qilingan ishlar o‘z g‘oyasyaga ko‘ra Kardanoning mulohazalaridan kelib chiqadi. U geometriya tilida mulohaza yuritadi: agar tomoni β = α+х bo‘lgan kub uning yog‘iga parallel tekislik bilan tomoni α va х bo‘lgan kublarga ajratilsa, ikki kubdan tashqari, tomonlari α, α, х bo‘lgan uchta va tomonlari α, х, х bo‘lgan  uchta  to‘g‘ri   burchakli  parallelepiped  hosil  bo‘ladi; hajmlar orasidagi munosabat (4)ni beradi; (5) ga o‘tish uchun turli tipdagi parallelepipedlar juft-jufti bilan birlashtiriladi. «Tartalya menga bergan bo‘lim geome­trik isbotlash yo‘li bilan kashf etilganini tushunib yetgach, bu  boshqa barcha  bo‘limlarga  yetaklovchi   shohona yo‘ldir  deb o‘yladim». Ehtimol, Kardanoga Al-Хorazmiyning kvadrat tenglamalar ustida yuritgan shunday mulohazalari ma’lum bo‘lgandir.

(2) tenglamani х =β+α o‘ringa qo‘yish bilan yechish mumkin, ammo bu erda ushbu hol ro‘y berishi mumkin: dastlabki tenglama uchta haqiqiy ildizga ega bo‘lib, yordamchi kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari bo‘lmaydi. Bu  keltirilmaydigan deb ataluvchi holdir. Bu Kardanoga (ehtimol, Tartalyaga ham) ko‘p tashvish keltirdi.

Kardano (3) tenglamani o‘sha davr uchun juda yaxshi va yetarli dalillar, ya’ni manfiy ildizni hisobga olmaydigan mulohaza asosida yechdi. Unga qadar hech kim manfiy sonlar bilan mufassal shug‘ullanmagan edi. Kardano ham man­fiy sonlardan erkin foydalanmagan, shu tufayli u (1) va (2) tenglamalarni alohida-alohida qaraydi.

Kardano x³ + ax² + bx+c = 0 umumiy ko‘rinishdagi kub tenglamani to‘la tekshirdi (bu yerda Tartalyaning mutlaqo ta’siri yo‘q). U hozirgi til bilan aytganda х = y—a/3 o‘rniga  qo‘yish  orqali х² li  hadni  yo‘qotish  mumkinligini  ko‘rsatdi.

Kardano faqat manfiy sonlarni emas (u bu sonlarni «sof yolg‘on soilar» deb ataydi), balki kompleks sonlarni (u bu sonlarni «mutlaqo soхta sonlar» deb ataydi) ham qaraydi. U, agar manfiy sonlar ustida tabiiy qoidalar asosida amallar bajarsak,  haqiqiy il­dizga ega bo‘lmagan kvadrat tenglamaga kompleks ildizlar yozish mumkin, deydi. Ehtimol, Kardano kompleks sonlarga keltirilmaydigan hol tufayli kelgandir. (Masalan, N. Burbaki shunday faraz qiladi.) Agar bu holda hisoblashlar natijasida hosil bo‘lgan kompleks sonlar ustidagi barcha amallarni «qo‘rqmay» bajarilsa, natijada haqiqiy ildizning to‘g‘ri  qiymati  hosil bo‘ladi. Kardanoning tekshirishlarida kvadrat tenglamadan tashfariga chiqish haqida hech qanday ko‘rsatma yo‘q. Biroq kubik tenglama haqidagi mulohaza Karda­noning izdoshi, mashhur «Algebra»ning muallifi (1572. y.) Bolonyalik muhandis-gidravlik Rafael Bombelli (1526—1573) asarida paydo bo‘ldi.

Kardano х³ + aх² + bх + c = 0 kubik tenglama uchta haqiqiy ildizga ega bo‘lishini va ularning yig‘indisi — a ga teng bo‘lishini tushunar edi. Bunday umumiy tadqiqotlarni Kardanodan oldin hech kim qilmagan. Algebrada geometriyadan farqli o‘laroq isbot    keltirilmas  edi.