Stirling formulasi

Hozirgi kunda faktoriallar matematikada har qadamda uchraydi. n musbat va butun son uchun «n faktorial» ifodasi (n! tarzida yoziladi) – n sonning o‘zi va ungacha bo‘lgan barcha butun sonlarning o‘zaro ko‘paytmasini anglatadi. Masalan 4!=1×2×3×4=24.

Faktorialning n! ko‘rinishida ifodalanishi qoidasini 1808-yilda farang matematigi Kristian Kramp joriy qilgan. Faktoriallar kombinatorikada juda katta ahamiyat kasb etadi. Masalan ko‘p sonli obyektlarning o‘zaro bir-biriga nisbatan joylashish variantlarini hisoblash zarur bo‘lgan o‘rinlarda faktoriallar juda asqotadi. Shuningdek faktoriallardan sonlar nazariyasi, ehtimollar nazariyasi hamda, matematik analiz sohalarida keng foydalaniladi.

Faktoriallarning qiymati favqulodda tez o‘sadi. Masalan, 70! ning qiymati 10¹⁰⁰ dan ham katta, 25256! esa, 10¹⁰⁰⁰⁰⁰ dan ham ulkan sonni tashkil qiladi. Shu sababli katta faktoriallarning qiymatlarini soddalashtirish imkonini beradigan qulay matematik usullarning ahamiyati ham favqulodda kattadir. Stirling formulasi quyidagi ko‘rinishda bo‘lib, n! ning aniq qiymatini topish imkonini beradi.

Formuladagi «≈» belgisi taqriban tenglikni ifodalasa, π va e sonlari esa, hammamizga tanish bo‘lgan matematik doimiylar, ya'ni, π=3.14159 va e=2.71828 ga teng. n ning juda ham katta qiymatlari uchun ushbu ifoda ln(n!)≈nln(n)-n ko‘rinishigacha yana ham soddalashtiriladi. Ushbu ifodani shuningdek yana n!= nⁿ·e^‒n tarzida yozish mumkin.

Grem effuziya qonuni

1805-1869 yillarda yashab o‘tgan shotland olimi Tomas Grem (Grexem, o‘ng tarafdagi rasmda) sharafiga nomlangan va aynan u tarafidan 1829-yilda kashf qilingan ushbu qonun quyidagicha uqtirish beradi:

Kichik mikroskopik tirqishchadan o‘tayotgan gazning chiqish tezligi, gaz zarralari massasining kvadrat ildizidan chiqarilgan qiymatga teskari proprsional.

Ushbu tasdiqni quyidagicha formula bilan ifodalash mumkin:

Bunda R₁ va R₂ - birinchi va ikkinchi gazlarning chiqish tezliklari, M₁ va M₂ esa, mos ravishda ularning molyar massalari. Grem qonuni bir vaqtning o‘zida ham diffuziya va hamda effuziya hodisalari uchun o‘rinlidir. Effuziya - gaz molekulalarining mikroskopik tirqishdan o‘zaro to‘qnashmasdan birma-bir, bittama-bitta o‘tishi jarayonidir. Gazning chiqish tezligi, uning molekulalari massasiga bog‘liq bo‘ladi. Masalan, vodorod singari yengil gazlarning molekulalari tirqishdan nisbatan tezroq chiqib ketadi. Chunki massasi yengil molekulalar boshqa, og‘irroq zarrachalarga nisbatan kattaroq tezlik bilan harakatlanadi.

Xabbl qonuning mazmuni qanday?

Edvin Xabbl Andromeda galaktikasi fotosurati bilan. ©AP Archive.

Xabbl qonuni bizdan olisdagi galaktikalarning uzoqlashish tezligi hamda ulargacha bo'lgan masofa orasidagi chiziqli munosabatni ifodalaydi. Unga muvofiq, bizdan ikki barobar olis masofada joylashgan galaktika, bizdan ikki xissa kattaroq tezlik bilan uzoqlashayotgan bo'ladi.

Ushbu qonuni XX asrning 20-yillarida, o‘sha paytda unchalik ham aniq bo‘lmagan va miqdoran kam sonli o‘lchashlar asosida, AQSHlik astronom Edvin Xabbl tomonidan shakllantirilgan edi. Galaktikalargacha bo'lgan masofani undagi nisbatan yorqin yulduzlarning yarqiroqligiga ko‘ra baholash va baholash natijalarini avvaldan ma'lum bo'lgan boshqa galaktikalarning tezliklari bilan qiyoslash orqali, Xabbl ushbu tezliklar orasidagi chiziqli munosabatni aniqladi. Lekin bunda tezlik va masofa orasidagi o‘zaro bog‘liqlikni ifodalovchi proporsionallik koeffitsiyenti, masofani chamalashdagi tizimli ravishda yo‘ qo‘yilgan xatolik tufayli, anchayin past ko‘rsatkich bilan aniqlangan edi. Xabbl nisbatidagi proporsionallik koeffitsiyentini Xabbl doimiysi deb atash urfga kirgan. Xabbl doimiysiga aniqlik kiritish hozirda ham davom etmoqda. Bugungi davrdagi ushbu doimiynining nisbatan katta aniqlik bilan belgilangan qiymati har bir megaparsekka (Mpk) 70 km/soniyani tashkil qiladi. (1 Mpk taxminan 3 million yorug'lik yiliga teng). Masalan biror galaktika bizdan aytaylik 100 Mpk masofada joylashgan bo‘lsa, demak u bizdan taxminan 70?100=7000 km/soniya tezlik bilan uzoqlashmoqda ekan deb xulosa qilinadi.

Yangi Gorizontlar

«Yangi gorizontlar» - (inglizcha: New Horizons) - NASA tomonidan, «Yangi sarhadlar» dasturi doirasida, 2006-yilning 19-yanvar kuni AQSHning Kanaveral kosmodromidan «Atlas-5» 551 raketa-eltuvchisi yordamida koinotga uchirilgan sayyoralararo avtomatik kosmik zond. Start vaqtidagi vazni 478 kg. Loyiha qiymati 650 million AQSH dollari. Apparat va uning bort asbob uskunalari, 11 kg plutoniy-238 radioaktiv termoelektr generatoridan quvvat oladi. o‘lchamlari 2,2×2,7×3,2 metr. «Yangi gorizontlar»ning ishlash muddati 15-17 yilgacha bo‘lishi ko‘zda tutilgan. Apparat, Pluton atmosferasi va sirt yuzasi tuzilishini tadqiq qiluvchi ultrabinafsha spektrometr, oddiy va infraqizil diapazonlarda ishlovchi yuqori aniqlikdagi yirik planli yoyilma fotokamera, Quyosh shamoli zarrachalarining parametrlarini o‘rganuvchi SWAP apparati, energetik zarrachalar spektrometri, Koyper belbog‘idagi chang zarrachalarini o‘rganish uchun chang detektori, hamda radiospektrometr kabi uskunalar bilan jihozlangan. Shuningdek, «Yangi gorizontlar» bortiga, Plutonni kashf qilgan astronom Klayd Tomboning xoki, hamda NASA o‘tkazgan maxsus «Plutonga ismingni yubor»dasturi doirasida 434738 kishining ismi yozilgan disk joylashtirilgan. Yer bilan aloqa esa, ko‘plab antennalar va kuchaytirgichlar tizimi orqali ta'minlanadi. «Yangi gorizontlar»ning axborot uzatish tezligi 4.75 Km/soniya (Yupiter hududida), Plutonga yetib borishda bu tezlik 96 bayt/soniyaga tenglashishi kerak.

Ushbu apparat, kosmik tadqiqotlar erasi boshlanganidan buyon, Yerdan eng katta tezlik bilan uchib chiqqan kosmik zond hisoblanadi. U start vaqtida 16.21 km/soniya tezlik bilan Yerni tark etgan. Biroq hozirda apparatning uchish tezligi 14.95 km/soniyani tashkil qiladi va bu, 70-yillar oxirida uchirilgan «Voyajer-1»ning tezligidan (17.055 km/soniya) past ko‘rsatkichdir (Voyajer-1 Saturn bilan bajarilgan gravitatsion manyovr evaziga qo‘shimcha tezlanish olgan).