Orbita . U Z

Ilm-fan fazosi uzra

  • Shrift o'lchamini kattalashtirish
  • Odatiy shrift o'lchami
  • Shrift o'lchamini kichiklashtirish
Bosh sahifa Maqolalar Tabiat qonunlari Populyatsiyaning eksponensial ko‘payishi

Populyatsiyaning eksponensial ko‘payishi

E-mail Chop etish
Maqola Reytingi: / 0
Juda yomon!A'lo! 
Maqola mundarijasi
Populyatsiyaning eksponensial ko‘payishi
Мақолани кирилл алифбосида ўқинг
Hamma sahifa

Populyatsiyaning eksponensial ko‘payishi

Agar populyatsiyaning miqdoriy o‘sishi bosh soniga proporsional bo‘lsa, unda, populyatsiya eksponensial ko‘payadi.

«Eksponensial o‘sish» iborasi bizning leksikonimizda odatda qandaydir shiddatli, to‘xtovsiz o‘sish jarayonini ifodalaydi. Masalan, matbuotda shahar aholining shiddatli o‘sishini shunday ta’riflashadi. Yoki, shaharlar sonining ortishini o‘zi ham eksponensial o‘sish deyiladi. Biroq, o‘z nomi bilan aniq fan bo‘lgan matematikada ushbu termin aniq bir turdagi o‘sish jarayonini ifodalaydi.

Eksponensial o‘sish deganda, populyatsiyaning o‘sishi populyatsiyaning joriy umumiy soniga proporsionalligi tushuniladi. Populyatsiyaning o‘sishi esa, tug‘ilishlar sonidan o‘limlar soni ayirmasiga teng bo‘ladi. Masalan, odam populyatsiyasi uchun, tug‘ilishi koeffitsienti, joriy paytdagi reproduktiv yoshdagi juftliklar soniga taxminan teng bo‘ladi; o‘lim koeffitsienti esa, populyatsiyadagi odamlar soniga taxminan teng bo‘ladi (uni N bilan belgilaymiz). Shunda, taqribiy yaqinlashish bilan:


Aholi soni o‘sishi=tug‘ilishlar soni – o‘limlar soni

N=rN

Bu o‘rinda r – proporsionallik koeffitsienti bo‘lib, u orqali, proporsionallik ifodasini tenglama ko‘rinishida yozish imkonini beradi.

dN – bu o‘tgan dt vaqt ichida populyatsiyaga qo‘shilgan boshlar soni bo‘lsin, shunda, agar populyatsiyada umumiy sonda N bosh mavjud bo‘lsa, unda, dN=rN∙dt shart bajarilganda eksponensial ko‘payish sharoiti vujudga keladi.

XVII-asrda Isaak Nyuton differensial hisob-kitob usulini ixtiro qilganidan buyon, biz yuqoridagi kabi tenglamalarni berilgan istalgan vaqt uchun populyatsiya miqdori N ni topish tenglamasini yechishni bilib olganmiz. Uning yechimi quyidagicha bo‘ladi: N=N0ert

Bunda N0 –vaqt hisobi boshlanish paytidagi bosh soni; t esa, o‘shandan buyon o‘tgan vaqt. e esa, matematikadagi maxsus sonlardan biri bo‘lib, u natural logarifmning asosi deyiladi va uning qiymati taqriban 2,7 ga teng deb olinadi. Tenglamaning o‘ng tarafi eksponensial funksiya deyiladi.

Eksponensial ko‘payish nima ekanini yaxshiroq tushunib olish uchun, avvaliga atiga bitta bakteriyadan boshlangan populyatsiyani tasavvur qiling. Ma’lum vaqtdan keyin (bir necha soat yoki, daqiqalardan so‘ng) bakteriya ikkiga bo‘linadi va populyatsiya miqdori ikki karra ortadi. Navbatdagi vaqt intervali ichida esa, mazkur ikkita bakteriya ham yana ikkiga bo‘linadi va populyatsiya soni yana ikki karra ortadi; - endi, bakteriyalar soni to‘rtta bo‘ldi. O‘n marta shunday bo‘linib ko‘payishlardan so‘ng, bakteriyalar soni mingdan ortadi, yigirmanchi bo‘linishda esa, bakteriyalar allaqachon milliontadan ko‘payib ketgan bo‘ladi va ho kazo. Agar har bir bo‘linishdan keyin populyatsiya shunday ikki karraga ortaversa, uning ko‘payishi cheksizlikka intilib boraveradi.

Sultondan shaxmat taxtasi kataklariga moslab progressiya tartibida soni ortadigan bug‘doy donalari berishini so‘ragan dehqon haqida afsonani ko‘pchilik eshitgan yoki o‘qigan. O‘shanda, dehqon shaxmat taxtasidagi birinchi katakka 1 dona, ikkinchiga 2 dona, uchinchi katakka esa to‘rtta, to‘rtinchiga 16 ta va ho kazo shu tartibda bug‘doy doni qo‘yishini so‘ragan. Sulton esa, dehqon arzimagan narsa so‘rayapti deb o‘ylab, kinoya ham qilgan va xodimlariga shuncha bug‘doy keltirishni buyurgan. Lekin, tez orada uning ta’bi xunob bo‘ladi. Chunki, agar Yerdagi barcha quruqlikka to‘liq bug‘doy ekilsa ham, dehqon so‘ragan miqdorda don yetishtirishning ilojisi yo‘q ekani ma’lum bo‘lgan. Haqiqatan ham, tabiiyki, 64-ta katakdan iborat shaxmat taxtasining 64-katagiga kelganda, shunday ulkan son yuzaga keladiki, sulton buncha bug‘doyni bu dunyodan topib bera olmaydi.

Ushbu misol, hamda, biz yuqorida tasavvur qilgan bakteriyalar populyatsiyasi haqidagi misol ko‘rsatib turibdiki, tabiatda hech qanday populyatsiya doimiy muttasil bir maromda ko‘paya olmaydi. Ya’ni, abadiy va cheksiz ko‘paymaydi. Ertami, kechmi – ushbu populyatsiya rivoji uchun zaruriy resurslar – joy, ozuqa (energiya), suv va ho kazolar tugab bitadi. Shu sababli ham, populyatsiya eksponensial ko‘payish orqali faqat ma’lum muddat o‘sa oladi xolos. U baribir, ertami, kechmi, ko‘payishni sekinlashishiga majbur bo‘ladi. Shu sababli ham, tenglamani shunday o‘zgartirish kerakki, populyatsiya miqdorining eng maksimal darajaga yaqinlashishi bilan, o‘sish tezligi pasaya boshlasin. Populyatsiya miqdorining maksimal darajasini (maksimal sonini) tashqi qaysi omillar belgilashi mumkinligini yuqorida ta’kidladik. Populyatsiyaning maksimal miqdorini K bilan belgilaymiz. Shunda, bizning yuqoridagi tenglamamiz quyidagicha ko‘rinish oladi:

dN=rN(1‒(N/K))dt

N hali K dan ancha kichik bo‘lgan hollarda, tenglamada N/K hadini e’tiborga olmasa ham bo‘ladi va shunda biz odatiy eksponensial ko‘payishning maqola avvalida keltirilgan tenglamasiga qaytamiz. Lekin, N o‘zining maksimal qiymati K ga yaqinlashib borgani sari, 1‒(N/K) ifodaning qiymati nolga intilib boradi. Shunga muvofiq, populyatsiyaning ko‘payishi ham nolga intila boshlaydi (aniqrog‘i, ko‘payish keskin kamaya boshlaydi). Bu holatda, populyatsiyaning umumiy soni barqarorlashadi va taxminan K ga teng bo‘lgan sonda qoladi.

Ushbu tenglamaning grafigi bo‘ladigan egri chiziq, hamda, tenglamaning o‘zi fanda bir necha xil nomga ega. Ushbu tenglama va uning grafigini manbalarda ko‘pincha S-egri chiziq, logistik tenglama, Volterra tenglamasi, Lotka-Volterra tenglamasi nomlari bilan uchratishingiz mumkin. Qayd etilgan so‘nggi ikki nom italyan matematigi Vito Volterra (1860-1940) hamda, amerikalik matematik hamda, sug‘urta analitikasi mutaxassisi Alfred Lotka (1880-1949) nomlari bilan bog‘liq.

Tenglama qanday atalmasin, uning mohiyati o‘sha-o‘sha: ushbu birmuncha sodda tenglama, muayyan turning populyatsiyasining keskin eksponensial ko‘payishi, hamda, ma’lum chegaraga yaqinlashgani sari, ko‘payishning sekinlashib, barqarorlashishini ifodalaydi. Ushbu tenglama, tabiatdagi ko‘plab turlarning populyatsiyaning real ortishi jarayonlariga katta aniqlikda mos keladi.


Bizni ijtimoiy tarmoqlarda ham kuzatib boring:

Feysbukda: https://www.facebook.com/Orbita.Uz/

Tvitterda: @OrbitaUz

Google+ : https://plus.google.com/104225891102513041205/posts/

Telegramdagi kanalimiz: https://telegram.me/OrbitaUz


Популяциянинг экспоненциал кўпайиши

Агар популяциянинг миқдорий ўсиши бош сонига пропорционал бўлса, унда, популяция экспоненциал кўпаяди.

«Экспоненциал ўсиш» ибораси бизнинг лексиконимизда одатда қандайдир шиддатли, тўхтовсиз ўсиш жараёнини ифодалайди. Масалан, матбуотда шаҳар аҳолининг шиддатли ўсишини шундай таърифлашади. Ёки, шаҳарлар сонининг ортишини ўзи ҳам экспоненциал ўсиш дейилади. Бироқ, ўз номи билан аниқ фан бўлган математикада ушбу термин аниқ бир турдаги ўсиш жараёнини ифодалайди.

Экспоненциал ўсиш деганда, популяциянинг ўсиши популяциянинг жорий умумий сонига пропорционаллиги тушунилади. Популяциянинг ўсиши эса, туғилишлар сонидан ўлимлар сони айирмасига тенг бўлади. Масалан, одам популяцияси учун, туғилиши коэффициенти, жорий пайтдаги репродуктив ёшдаги жуфтликлар сонига тахминан тенг бўлади; ўлим коэффициенти эса, популяциядаги одамлар сонига тахминан тенг бўлади (уни N билан белгилаймиз). Шунда, тақрибий яқинлашиш билан:

Аҳоли сони ўсиши=туғилишлар сони – ўлимлар сони

N=rN

Бу ўринда r – пропорционаллик коэффициенти бўлиб, у орқали, пропорционаллик ифодасини тенглама кўринишида ёзиш имконини беради.

dN – бу ўтган dt вақт ичида популяцияга қўшилган бошлар сони бўлсин, шунда, агар популяцияда умумий сонда N бош мавжуд бўлса, унда, dN=rN∙dt шарт бажарилганда экспоненциал кўпайиш шароити вужудга келади.

XVII-асрда Исаак Ньютон дифференциал ҳисоб-китоб усулини ихтиро қилганидан буён, биз юқоридаги каби тенгламаларни берилган исталган вақт учун популяция миқдори N ни топиш тенгламасини ечишни билиб олганмиз. Унинг ечими қуйидагича бўлади: N=N0ert

Бунда N0 –вақт ҳисоби бошланиш пайтидаги бош сони; t эса, ўшандан буён ўтган вақт. e эса, математикадаги махсус сонлардан бири бўлиб, у натурал логарифмнинг асоси дейилади ва унинг қиймати тақрибан 2,7 га тенг деб олинади. Тенгламанинг ўнг тарафи экспоненциал функция дейилади.

Экспоненциал кўпайиш нима эканини яхшироқ тушуниб олиш учун, аввалига атига битта бактериядан бошланган популяцияни тасаввур қилинг. Маълум вақтдан кейин (бир неча соат ёки, дақиқалардан сўнг) бактерия иккига бўлинади ва популяция миқдори икки карра ортади. Навбатдаги вақт интервали ичида эса, мазкур иккита бактерия ҳам яна иккига бўлинади ва популяция сони яна икки карра ортади; - энди, бактериялар сони тўртта бўлди. Ўн марта шундай бўлиниб кўпайишлардан сўнг, бактериялар сони мингдан ортади, йигирманчи бўлинишда эса, бактериялар аллақачон миллионтадан кўпайиб кетган бўлади ва ҳо казо. Агар ҳар бир бўлинишдан кейин популяция шундай икки каррага ортаверса, унинг кўпайиши чексизликка интилиб бораверади.

Султондан шахмат тахтаси катакларига мослаб прогрессия тартибида сони ортадиган буғдой доналари беришини сўраган деҳқон ҳақида афсонани кўпчилик эшитган ёки ўқиган. Ўшанда, деҳқон шахмат тахтасидаги биринчи катакка 1 дона, иккинчига 2 дона, учинчи катакка эса тўртта, тўртинчига 16 та ва ҳо казо шу тартибда буғдой дони қўйишини сўраган. Султон эса, деҳқон арзимаган нарса сўраяпти деб ўйлаб, киноя ҳам қилган ва ходимларига шунча буғдой келтиришни буюрган. Лекин, тез орада унинг таъби хуноб бўлади. Чунки, агар Ердаги барча қуруқликка тўлиқ буғдой экилса ҳам, деҳқон сўраган миқдорда дон етиштиришнинг иложиси йўқ экани маълум бўлган. Ҳақиқатан ҳам, табиийки, 64 та катакдан иборат шахмат тахтасининг 64 катагига келганда, шундай улкан сон юзага келадики, султон бунча буғдойни бу дунёдан топиб бера олмайди.

Ушбу мисол, ҳамда, биз юқорида тасаввур қилган бактериялар популяцияси ҳақидаги мисол кўрсатиб турибдики, табиатда ҳеч қандай популяция доимий муттасил бир маромда кўпая олмайди. Яъни, абадий ва чексиз кўпаймайди. Эртами, кечми – ушбу популяция ривожи учун зарурий ресурслар – жой, озуқа (энергия), сув ва ҳо казолар тугаб битади. Шу сабабли ҳам, популяция экспоненциал кўпайиш орқали фақат маълум муддат ўса олади холос. У барибир, эртами, кечми, кўпайишни секинлашишига мажбур бўлади. Шу сабабли ҳам, тенгламани шундай ўзгартириш керакки, популяция миқдорининг энг максимал даражага яқинлашиши билан, ўсиш тезлиги пасая бошласин. Популяция миқдорининг максимал даражасини (максимал сонини) ташқи қайси омиллар белгилаши мумкинлигини юқорида таъкидладик. Популяциянинг максимал миқдорини K билан белгилаймиз. Шунда, бизнинг юқоридаги тенгламамиз қуйидагича кўриниш олади:

dN=rN(1‒(N/K))dt

N ҳали K дан анча кичик бўлган ҳолларда, тенгламада N/K ҳадини эътиборга олмаса ҳам бўлади ва шунда биз одатий экспоненциал кўпайишнинг мақола аввалида келтирилган тенгламасига қайтамиз. Лекин, N ўзининг максимал қиймати K га яқинлашиб боргани сари, 1‒(N/K) ифоданинг қиймати нольга интилиб боради. Шунга мувофиқ, популяциянинг кўпайиши ҳам нольга интила бошлайди (аниқроғи, кўпайиш кескин камая бошлайди). Бу ҳолатда, популяциянинг умумий сони барқарорлашади ва тахминан K га тенг бўлган сонда қолади.

Ушбу тенгламанинг графиги бўладиган эгри чизиқ, ҳамда, тенгламанинг ўзи фанда бир неча хил номга эга. Ушбу тенглама ва унинг графигини манбаларда кўпинча S-эгри чизиқ, логистик тенглама, Вольтерра тенгламаси, Лотка-Вольтерра тенгламаси номлари билан учратишингиз мумкин. Қайд этилган сўнгги икки ном итальян математиги Вито Вольтерра (1860-1940) ҳамда, америкалик математик ҳамда, суғурта аналитикаси мутахассиси Альфред Лотка (1880-1949) номлари билан боғлиқ.

Тенглама қандай аталмасин, унинг моҳияти ўша-ўша: ушбу бирмунча содда тенглама, муайян турнинг популяциясининг кескин экспоненциал кўпайиши, ҳамда, маълум чегарага яқинлашгани сари, кўпайишнинг секинлашиб, барқарорлашишини ифодалайди. Ушбу тенглама, табиатдаги кўплаб турларнинг популяциянинг реал ортиши жараёнларига катта аниқликда мос келади.


Бизни ижтимоий тармоқларда ҳам кузатиб боринг:

Фейсбукда: https://www.facebook.com/Orbita.Uz/

Твиттерда: @OrbitaUz

Google+ : https://plus.google.com/104225891102513041205/posts/

Телеграмдаги каналимиз: https://telegram.me/OrbitaUz

Yangilаndi: 24.08.2017 09:57  
Maqola yoqdimi? Do'stlaringizga ham tavsiya qiling:

Mulohaza bildiring:


Mahfiy kod
Yangilash

Banner

Orbita.Uz infotekasi

Milliy bayramlarimiz

Yaqin kunlardagi rasmiy bayramlar, kasb bayramlari, muhim tarixiy va xalqaro sanalar.

26 - Iyun - Iyd al-Fitr - Ramazon hayiti Dam olish kuni) (oy chiqishiga qarab bir kunga o'zgarishi mumkin)


1 - Sentyabr - Mustaqillik kuni. (Dam olish kuni)


2 - Sentyabr - Iyd al-Adho - Qurbon Hayiti . (Dam olish kuni) (oy chiqishiga qarab bir kunga o'zgarishi mumkin)

O'zbekiston shaharlari ob-havo ma'lumotlari

Orbita.Uz do'stlari:

Ziyo istagan qalblar uchun:

O'zbek tilidagi eng katta elektron kutubxona!

​Ўзбекча va o'zbekcha o'zaro transkripsiya!
O'zbekcha va ўзбекча ўзаро транскрипция!

Bizning statistika


Orbital latifalar :) :)

СмешноУлыбаюсьПодмигиваю

Tram-tramiston kimyo lug'ati;

Ekstarktor - sobiq traktor;

Polimer - uy polini o'lchash asbobi;

Xlorofill - xlorparast kimsa


Birliklar Konvertori

Birlik / Kattalik turini tanlang:
Qiymatni kiriting:

Natijaviy qiymat:

© Orbita.uz

Kontent statistikasi

Foydalanuvchilar soni : 374
Kiritilgan mаqolalar soni : 761
O'qilgan sahifalar soni : 2498086

Tafakkur durdonalari

Ilm-Fan Taraqqiyotni yetaklovchi kuchdir!