Algebraik strukturalar: obyektlar o‘rtasidagi mavhum nisbatlar

Algebraik strukturalar - nazariy matematikaning tarkibiy qismi o‘laroq shakllangan. Shunga qaramay, algebraik strukturalar fizika, kimyo va boshqa fan sohalaridagi muhim masalalar yechimi uchun tadbiq qilina boshlandi va tez orada texnikada ham o‘z amaliy ahamiyatini namoyon qildi. Umuman olganda, algebraik strukturalar tushunchasi bugungi kunda shunchaki nazariy matematika sohasi chegarasidan tashqariga chiqib ketgan. Algebraik strukturalar fizika, kimyo va ayniqsa informatika sohalarida o‘ta muhim ahamiyat kasb etmoqda. Guruhlar nazariyasi va algebraik strukturalar tushunchasisiz nisbiylik nazariyasi va kvant mexanikasini barpo qilish imkonsiz bo‘lgan bo‘lur edi

Ko‘plab jarayonlarni o‘rganish va tadqiq qilishda algebraik strukturalarni tadbiq etish masalasi yuzaga chiqadi. Algebraik strukturalarni qo‘llashda esa, muayyan darajadagi mavhimiyat (abstraksiya) talab qilinadi. Aslida bu narsa nafaqat algebraik strukturalarga, balki, kundalik hayotimizdagi ko‘plab boshqa narsalarga ham taalluqli bo‘lib, mavhum tushunchalar - turmushimizning chambarchas qismidir. Mavhum tushunchalar - insonning tafakkur va tasavvur qobiliyatida o‘ziga xos muhim o‘ringa ega.

Ko‘plab jarayonlarni o‘rganish va tadqiq qilishda algebraik strukturalarni tadbiq etish masalasi yuzaga chiqadi. Algebraik strukturalarni qo‘llashda esa, muayyan darajadagi mavhimiyat (abstraksiya) talab qilinadi. Aslida bu narsa nafaqat algebraik strukturalarga, balki, kundalik hayotimizdagi ko‘plab boshqa narsalarga ham taalluqli bo‘lib, mavhum tushunchalar - turmushimizning chambarchas qismidir. Mavhum tushunchalar - insonning tafakkur va tasavvur qobiliyatida o‘ziga xos muhim o‘ringa ega.

Amaliy fan sohalaridan, nisbatan nazariya, boshqacha aytganda, fundamental fanlarga kirib borgan sari, ushbu fan sohasida qo‘llanadigan mavhumlik darajasi ham ortib boradi. Bir vaqtning o‘zida, mavhumlik orqali qaraladigan strukturalarning aniqligi ham ortadi. Mumtoz algebrada sonlar va ular orasidagi nisbatlar o‘rganiladi. Bilamizki, sonlar orasidagi nisbatlar turli matematik operatsiyalar (amallar) orqali ifodalanadi. Mavhum algebrada esa, ixtiyoriy elementlar orasidagi nisbatlar o‘rganiladi. Bu nisbatlar esa, mavhum amallar (abstrakt operatsiyalar) orqali ifodalanadi. Odatda, pedagog matematiklar algebraik strukturalar va mavhum operatsiyalarni soddaroq qilib tushuntirish uchun quyidagi uch bosqichli tushuntirish usulini qo‘llaydilar.

Birinchi bosqich.

• Bu bosqichda bir necha oddiy masalalar ko‘rib chiqiladi:

  Masala №1: Qutida 5 ta olma bor. Eshmat qutiga yana 3 ta solib qo‘ydi. Qutida jami nechta olma bo‘ldi? Javob: 5+3=8 ta olma.

  Masala №2: Karmonda 5 so‘m bor. Eshmat 2 so‘mga xo‘rozqand sotib oldi. Karmonda necha pul qoldi? Javob: 5−2=3 so‘m.

  Bu masalalar sizni kulgingizni qistatgan bo‘lsa kerak. Axir eng elementar arifmetika sohasiga oid bo‘lgan ushbu masalalarni boshlang‘ich sinf o‘quvchilari, yoki, bog‘cha bolalari ham oson yecha oladi. Fikringiz to‘g‘ri. Lekin, keling, shoshqaloqlik qilmaymiz va ushbu masalalarni algebraik strukturalarni tushunish yo‘lidagi ilk qadam deb qabul qilamiz.

  Albatta, ushbu masalalarni yechish uchun matematika fani mutaxassisi, yoki, eksperti bo‘lishi shart emas. Ba’zilar ushbu masalalarni, aslida «masala» deb aytishga ham istihola qilishadi. Matematik mutaxassislar bunday masalalarni boshlang‘ich sinf darsliklarida «mashqlar» deb ham berishadi. Shunga qaramay, aytaylik, 4-yoshli bola uchun bu masalalar biroz qiyinlik qilishini hammamiz yaxshi bilamiz. Birinchidan, bu yoshdagi bola, birgina 5 sonining o‘zi ayni vaqtda ham oiladagi odamlar sonini ifodalash uchun, ham karmondagi pul miqdorini, ham qutidagi o‘yinchoqlar va vazadagi olmalar soni ham ifodalash uchun qo‘llanishini endigina bilib olgan payti bo‘ladi. Ya'ni, uning aqliy rivojlanish darajasining joriy bosqichi uchun, yuqorida aytilgan masala biroz qiyinlik qiladi. Ayni shu bosqichni matematikada mavhumiyatning birinchi bosqichi sifatida qaraladi.

  Aslida son tushunchasi o‘zi ham mavhum tushunchadir. Son tushunchasi va u bilan chambarchas bog‘liq bo‘lgan hisoblash tushunchasini anglab yetib olish ham, xuddi o‘qish va yozishni o‘rganish singari, katta aqliy salohiyat talab qiladigan jarayondir. O‘qish, yozish va sanash tushunchalari, madaniylashgan jamiyatlarda yashovchi barcha odamlar hayoti davomida keng qo‘llaydigan va shuning uchun bolaligidanoq bilishi va anglashi lozim bo‘lgan eng muhim mavhumiyatlar olamidir. Bular ichida, №1 va №2  masalalar vositasida ifoda qilingan sanoq mavhumiyati matematikada abstraksiyaning birinchi bosqichi deb qaraladi.

  Demak, birinchi bosqich matematik mavhumiyatdan odamlar bolalikdanoq foydalana boshlar ekanlar.

  Ushbu ikki masalada qo‘llangan matematik amallar nafaqat olmalar sonini, yoki, pulni sanash singari aniq, moddiy narsalar bilan bog‘liq hisoblashlar uchun tadbiq qilinadi, balki, mavhum ko‘rinishdagi sonlar uchun ham qo‘llanadi. Shu tarzda, 8+3=11, 20−5=15 singari amallarni sonlar va qo‘shish-ayrish amallari bilan tanish bo‘lgan istalgan odam bajara oladi. Biroq, 5−25=? kabi misolning mohiyatini anglash hali bu bosqichda oson bo‘lmaydi.

  Agar, qutida 5 ta olma turgan bo‘lsa va undan 25 ta olma olishni so‘rasak, bu gapni eshitgan yosh bolakay ham, buning iloji yo‘qligini aytib e’tiroz bildiradi. Bunday e’tiroz tamomila o‘rinli va haqdir. Lekin, agar bu o‘rinda gap pul muomalasi, aytaylik, bank hisob-raqami haqida ketayotgan bo‘lsa-chi? Endilikda manfiy sonlar maydonga chiqadi. Aytaylik, sizda 5 so‘m pulingiz bor. Bozorda siga zarur bo‘lgan buyum 25 so‘m turibdi. Sizda uni xarid qilish uchun yana 5−25=−20 so‘m yetishmayapti.

  Manfiy sonlar XVI asr oxirida Yevropada paydo bo‘lgan. Biroq, manfiy son tushunchasi jamiyatda o‘rnashib, keng qo‘llanila boshlashi uchun oradan yana deyarli ikki asr vaqt o‘tdi. XIX asrda bank-moliya xizmatlari va xalqaro savdoning keskin ortishi bu narsaga turtki bergan deb qaraladi. Biroq, fan-texnika mislsiz rivojlangan bugungi XXI asrda ham, manfiy son tushunchasini yaxshi bilmaydigan odamlar topilib turadi. Buni ularga tushuntirishning oson yo‘li, manfiy sonlarni pul muomalasidagi qarz tushunchasi bilan bog‘lab tushuntirishga urinib ko‘rishdir. Masalan, cho‘ntagida 5 so‘m puli bor bolakay, bozorda 25 so‘mga xo‘rozqand xarid qilmoqchi bo‘lsa, unga yana 20 som kerak bo‘ladi. U mazkur 20 so‘mni do‘stidan qarz oladi. Buni, bolakayni 20 so‘m qarzi bor, yoki, manfiy son bilan ifodalab, −20 so‘m puli bor deyish mumkin. mazkur gapda «qarz» tushunchasi matematik «−» (ayrish) amali bilan bir ma’noga ega bo‘lmoqda.

  Ertasi kuni bolakayga dadasi muzqaymoq uchun 15 so‘m pul beradi. Lekin, ushbu 15 so‘m ichidan u do‘stiga kechagi 20 so‘m qarzni qaytarishi kerak. U 15 so‘mni do‘stiga berib yuborsa, −20 so‘m pulidan (qarzidan) −20+15=−5 so‘m qoladi.

  Sonlarning musbat va manfiy turlari mavjudligini, shuningdek, neytral son – nol (0) borligini bilgan holda, yuqorida bajarilgan amallarni biz quyidagi matematik ifoda vositasida ko‘rsatishimiz mumkin:

  5+(−25)=−20

  −20+15=−5

  Bu amallar orqali va nol sonini ishtirok ettirib, bir necha qiziqarli vaziyatlarni ko‘rib chiqamiz:

  3+2=2+3;

  2354+578494=578494+2354;

  58+0=0+58;

  0+15=15+0;

  25+(−25)=0;

  2500+(−2500)=0.

  Yana bir, biroz murakkab, lekin juda qiziq misol:

  2+(4+5)=(2+4)+5

  Bu misolning qiziqligi shundaki, u ikkitadan ko‘p sonlarni qo‘shish imkonini bermoqda va unda avvaliga 2+4=6 yig‘indini topib, so‘ngra unga 5 ni qo‘shib qo‘yish mumkinligini, yoxud, avvaliga 4+5=9 ni topib, keyin unga 2 ni qo‘shsa ham bo‘laverishini ta’kidlamoqda. Har ikki holatda ham natija bir xil, ya'ni, 11 chiqadi. Agar bu to‘g‘ri bajarilayotgan bo‘lsa, demak, qavslarning joylashuvi hech qanday ahamiyatga ega emasligini bilib olamiz. Chunki, istalgan holda ham, natija baribir bir xil chiqadi.

  Keling, sonlarni qo‘shish amali bilan bog‘liq xulosalarni umumlashtiramiz.

  · Ikkitadan ortiq qo‘shiluvchilar ishtirok etadigan yig‘indilarni hisoblashda, qo‘shiluvchilarni istalgan usul bilan guruhlash mumkin. Chunki natija doimo bir xil chiqadi.

  · «Nol» (1) deb ataluvchi butun son mavjud va unga istalgan son qo‘shilganda, yig‘indi shu sonning o‘ziga teng bo‘ladi (masalan, 16+0=16 va ho kazo).

  · Istalgan burun son uchun unga qarama qarshi bo‘lgan son mavjud bo‘lib, ularni o‘zaro qo‘shgandagi yig‘indisi doimo nolga teng bo‘ladi. Masalan, 16+(−16)=0; yoki, −23+23=0

  Agar biz, yuqorida bayon qilingan tajribaga juda o‘xshash bo‘lgan yana bir tajriba o‘tkazib ko‘rsak, xulosada ko‘rib chiqilgan uch xil xossaga juda o‘xshash xossalarga shuningdek ratsional sonlar ham ega ekanini bilib olamiz. Buning uchun biz, qo‘shish amalini emas, balki, ratsional sonlarni o‘zaro ko‘paytirishni ko‘rib chiqamiz. Boshqacha aytganda, endi kasr sonlarni ham e’tiborga ola boshlaymiz.

  · Uchta sonni o‘zaro ko‘paytirishda ularni istalgan yo‘l bilan guruhlash mumkin: (2∙3)∙5=2∙(3∙5); chunki, 6∙5=2∙15=30.

  · Bir (1) deb ataluvchi ratsional son mavjud va unga istalgan ratsional son ko‘paytirilsa, natija shu sonning o‘ziga teng bo‘lib qolaveradi: 1∙16=16; yoki, 28∙1=28.

  Istalgan ratsional son uchun, doimo unga teskari bo‘lgan boshqa ratsional son mavjud bo‘lib, ularning o‘zaro ko‘paytmasi doimo 1 ga teng bo‘ladi. Masalan:

Shu tarzda biz, shunga o‘xshash tajribalarni boshqa matematik amallar uchun ham takrorlab ko‘rishimiz mumkin. Bunda tajribani hatto albatta sonlar ishtirokini taqozo qilmaydigan amallar, masalan, tekisliklarni o‘zgartirish kompozitsiyalari, vektorlarni, yoki, matritsalarni ko‘paytirish uchun ham tekshirib ko‘rish mumkin. Bunda, mazkur operatsiyalar (amallar) ham yuqorida aytilgan xossalarga ega bo‘lishini bilib olamiz. Ushbu xossalarni matematiklar umumiy qilib, «assotsiativlik xossalari» deb yuritishadi. O‘zbek tilida bu tushunchani «uyg‘unlik xossasi», yoki, «bog‘liqlik xossasi» ham deyish mumkin.

Ikkinchi bosqich.

Yuqorida ko‘rib chiqilgan amallarda sonlar o‘rniga belgilar (harflar) qo‘llash orqali biz matematik abstraksiyaning ikkinchi bosqichiga o‘tamiz. Avvalgi bosqichda ko‘rib chiqilgan assostsiativlikni algebrada quyidagi ifodalash mumkin: (a+b)+c=a+(b+c); yoki, (a∙b)∙c= a∙(b∙c). Bunda, a, b, c - qo‘shish amali uchun olganda butun sonlar; ko‘paytirish amali uchun olganda esa, ratsional sonlar bo‘lishi mumkin.

Bu bosqichda umumiylik yanada ortadi. Chunki, endi biz sonlar o‘rniga harflardan foydalanish orqali, ushbu harflar o‘rniga istalgan sonlarni qo‘yib amallarni bajarilsa, ifodada ko‘zda tutilgan assotsiativlik baribir bajarilishini ma’lum qilmoqdamiz. Bunda endi, harflar o‘rniga qo‘yiladigan sonlarning butun sonlarmi, yoki, ratsional sonlar bo‘lishining farqi qolmaydi. Xossa baribir bajarilaveradi. Aynan shu joyda biz matematik abstraksiyaning ikkinchi bosqichiga chiqamiz. Bu bosqich taxminan 13-14 yoshlardagi maktab o‘quvchilariga algebra fani orqali singdiriladi. Ba’zi mamlakatlarda ushbu jarayonda algebra o‘qitishni «abstrakt algebra» fani deb ham yuritiladi. Biroq, nimagadir fan nomiga «abstrakt» so‘zini qo‘shib aytilishi, matematik mutaxassislardan boshqa deyarli barchani qo‘rqitadi. Shu o‘rinda, muhim bir faktni ham yodga olib o‘tish orqali, aslida mavhum algebra, ya'ni, abstrakt algebra ko‘pchilik o‘ylagandek qo‘rqinchli va mujmal narsa emasligini tushunishga yordam berishi mumkin. Ya'ni, aslida biz kundalik turmushda har kuni ishlatadigan va ongimizga singib ketgan ko‘plab tushunchalarning o‘zi ham mavhum tushunchalardir. Chunonchi biz «daraxt» deganimizda, biologiya faniga ma’lum barcha daraxt turlariga mansub obyektlarni nazarda tutamiz. Biroq, masalani aniqlashtirish kerak bo‘lsa, tafsilotlarga o‘ta boshlaymiz va muayyan daraxtlar oilasini, yoki, aniq bir daraxt nomini aytishimiz mumkin bo‘ladi. Xususan, qurilishda uyga pol qoqish uchun ignabargli daraxt yog‘ochi yaxshiroq deymiz. Ignabargli daraxtlar oilasiga mansub daraxt turlari ham talaygina. Ular ichida eng yaxshisi, eng pishig‘i – listvennitsa daraxti yog‘ochi desak, eng aniq gap aytgan bo‘lamiz.

Xuddi shunday, nutqimizda masalan, «oq», «qo‘rqinchli», yoki, «chiroyli» kabi sifatlarni qo‘llayotganimizda, ulardan muayyan grammatik kategoriyani abstraksiyalash uchun foydalanamiz va buning uchun muayyan qoidalarni shakllantiramiz. Masalan, «qo‘rqinchli» sifatining o‘zi bilan ham odamni, ham film janrini, ham tungi xilvat ko‘chani aytishimiz mumkin. Bunday abstraksiyalashni biz, matematik abstraksiyaning uchinchi bosqichiga qiyoslashimiz mumkin.

Uchinchi bosqich.

Bu bosqichda biz, butun sonlar, yoki, ratsional sonlar singari, sonlarning muayyan aniq to‘plami haqida emas, balki, A to‘plam deb shartli belgilanadigan ixtiyoriy abstrakt to‘plam haqida so‘z yuritamiz. Bu to‘plamda a, b, va c bilan belgilangan elementlar mavjud. Biz, bundan boshqa qo‘shimcha tafsilotlarga e’tibor qaratmaymiz va to‘plamdagi elementlar sonining chekli yoki, cheksiz ekaniga aniqlik kiritmaymiz. Keling, ushbu to‘plam elementlari ustidan biz # operatsiyani aniqladik. Biz bu operatsiyani # o‘rniga istalgan boshqa belgi bilan, aytaylik $, ^ bilan belgilashimiz, yoxud, o‘zimiz fantaziyamizdan kelib chiqib biror yangi belgi o‘ylab topishimiz ham mumkin. Bunda eng muhimi, +, − yoki, ∙ singari boshqa amallarni ifodalovchi belgilarni qo‘llab, chalkashlik keltirib chiqarmasak bo‘lgani. Kimdir, bunday belgilash kiritish orqali tushunchani yanada murakkablashtirib yuborish haqida e’tiroz bildirishi mumkin. Biroq, tushunishga oson bo‘lishi uchun shunday misol keltirishimiz mumkin: aytaylik, tasavvur qiling, A to‘plam elementlari bu – futbolkalar bo‘lsin. Futbolkani ishlab chiqaruvchidan tortib, to yakuniy iste’molchiga yetib borgunicha kechadigan jahon bozoridagi harakatini ifodalovchi murakkab moliyaviy operatsiyalarni umumlashtirib yagona # belgisi bilan ifodaladik. Bunda, # ostida ham ishlab chiqarishga sarflangan xom-ashyo va ishchi kuchi sarfi, mahsulotni fabrikadan do‘konga eltish xarajatlari, reklama, chegirmalar va ho kazolar uchun xilma-xil moliyaviy operatsiyalar bajariladi. Lekin ushbu operatsiyalarning barchasi bitta element – futbolka yuzasidan bormoqda va shuning uchun biz ularni umumiy qilib # bilan belgilashimiz mumkin. Bunda, biz to‘plam uchun aniqlagan operatsiyamiz uchun qo‘yilgan yagona talab shuki, u to‘plam ichida istalgan element uchun umumiy, ya'ni, to‘plam uchun ichki operatsiya bo‘lishi kerak. Sodda qilib aytganda, futbolka va futbolka bilan bajarilgan operatsiya natijasida bir quti shirinlikka emas, balki, faqat va faqat futbolkaga taalluqli natija chiqishi kerak. Matematik tilda bu narsani a va b sonlari A to‘plamga tegishli bo‘lsa, unda a#b amal (operatsiya) natijasi ham albatta A to‘plamga tegishli bo‘lishi lozim deb ta’riflanadi. Aniqroq matematik misol ko‘radigan bo‘lsak, tasavvur qiling, biz barcha toq sonlardan iborat to‘plamni ko‘rib chiqmoqdamiz. Bu to‘plam elementlari uchun qo‘shish amali ichki amal (ichki operatsiya) bo‘lolmaydi. Chunki, to‘q son bilan toq sonni qo‘shganda, yig‘indi hech qachon toq son bo‘lmaydi va shunga muvofiq, toq sonlar to‘plamiga mansub bo‘la olmaydi.

A to‘plamdagi istalgan a, b, va c elementlari uchun (a#b)#c= a#(b#c) shart bajarilsa, unda # amali ushbu A to‘plam uchun assotsiativlik xossasiga ega bo‘ladi.

Ushbu to‘plam uchun e#a=a#e=a natijani beradigan e elementini neytral element deb nomlaymiz.

Shuningdek, a⁻¹#a=a#a⁻¹=e shartni qanoatlantiradigan a⁻¹ elementni teskari element (yoki, qarama-qarshi element) deb nomlaymiz.

Hozircha biz, ushbu operatsiya kommutativlik xossasiga ega bo‘lishi lozimligini aytmadik. Kommutativlik bu shunday xossaki, operatsiyani (amalni) bajarish jarayonida elementlarning joylashuv o‘rnini e’tiborga olish shart bo‘lmasa, bu operatsiyani kommutativlikka ega operatsiya deyish mumkin bo‘ladi. Ya'ni, kommutativ operatsiyada, elementlarning tartibining o‘zgarishi, yakuniy natijaga hech qanday ta’sir o‘tkazmaydi. Biroq, to‘plam uchun neytral va teskari elementlarni aniqlashda kommutativlikka katta ahamiyat berish lozim. Agar A to‘plam va u uchun biz aniqlagan # operatsiya uchun quyidagi uch shart bajarilayotgan bo‘lsa:

1) Operatsiya assotsiativ bo‘lsa;

2) Operatsiya uchun neytral element mavjud bo‘lsa;

3) A to‘plamdagi istalgan element uchun teskari element mavjud bo‘lsa,

Unda, A to‘plam va # amal (operatsiya) dan iborat juftlik guruh deb nomlanadigan algebraik strukturani tashkil qiladi. Masalan, butun sonlar to‘plami va qo‘shish amali bitta guruhni tashkil qiladi. Biz avvalgi bo‘limda butun sonlar to‘plami va qo‘shish amali uchun barcha uch shart bajarilayotganini aniq misollar bilan ko‘rib chiqqan edik. Matematikada bu guruhni (ℤ,+) tarzida belgilab ifodalanadi. Chunki, odatda matematiklar butun sonlar to‘plamini ℤ harfi bilan belgilaydilar. Shuni alohida ta’kidlab aytish kerakki, matematikada guruh bu – ikkita obyekt – to‘plam va operatsiya (amal) orqali shakllangan strukturadir. Masalan, ℤ to‘plamning o‘zini ko‘rsatib, lekin, unga taalluqli va yuqoridagi uch shartni qanoatlantiradigan amalni ko‘rsatmasdan turib, uni guruh deb aytish mumkin emas. Chunki, butun sonlar to‘plami (ℤ) bilan faqat qo‘shish amali guruh hosil qiladi. ℤ bilan ko‘paytirish amali guruh hosil qila olmaydi. Chunki, ℤ to‘plamda elementlarni ko‘paytirish ∙ amali uchun teskari element mavjud emas. Sababi, butun sonlar to‘plamiga kasr sonlar kirmaydi.

Agar, yuqorida qayd etilgan uch shartdan tashqari, A to‘plamdagi istalgan a va b elementlar uchun yana shuningdek a#b=b#a shart (to‘rtinchi shart) ham bajarilsa, unda guruh kommutativ guruh deyiladi. Shunga muvofiq, (ℤ,+) guruh kommutativ guruhdir.

Algebraik strukturalar.

Guruh – algebraik strukturadir. Matematikada ko‘plab algebraik strukturalar ma’lum. Xususan, guruhlar, ideallar, halqalar, maydon, modullar, vektor fazosi va boshqalarni misol qilib keltirish mumkin. Guruhlardan farqli o‘laroq, ushbu algebraik strukturalarning aksariyatida bittadan ko‘p matematik amallar aniqlangan. Misol uchun halqani ko‘rib chiqamiz. Halqa bu shunday A to‘plamki, unda ikkita ichki operatsiya (ularni shartli ravishda $ va ^ bilan belgilaymiz)[1] aniqlangan va bunda quyidagi shartlar bajarilmoqda:

1) Birinchi operatsiya $ ga nisbatan halqa kommutativ guruh xossasiga ega;

2) Ikkinchi operatsiya assotsiativlik xossasiga ega. Boshqacha aytganda, A to‘plamning istalgan a, b va c elementlari uchun (a^b)^c=a^(b^c) tenglik bajariladi.

3) Ikkinchi operatsiya, ya'ni ^ birinchi operatsiya $ ga nisbatan distirbutiv bo‘ladi. Ya'ni, bunda a^(b$c)=(a^b)$(a^c) shart bajariladi.

Butun sonlar to‘plami va qo‘shish va ko‘paytirish amallari birgalikda halqa tashkil qiladi va uni matematikada (ℤ,+, ∙) tarzida belgilanadi. Biz yuqorida, butun sonlar to‘plami va qo‘shish amali birgalikda kommutativ guruh tashkil qilishini aytib o‘tgandik. Shuningdek, biz bilamizki, butun sonlarni ko‘paytirish amali assotsiativlik xossasiga ega. Ya’ni, misol uchun 3∙(4∙8)=(3∙4)∙8, ya'ni, 3∙32=12∙8. Vanihoyat, bu holatda distirbutivlik xossasi quyidagicha namoyon bo‘ladi: 2∙(4+6)=2∙4+2∙6.

Bizga ma’lumki, barcha butun sonlar ushbu xossaga egadirlar.

Quyida ayrim algebraik strukturalar haqida soddaroq ma’lumot beruvchi jadvalni keltirib o‘tamiz. Shuni ta’kidlash joizki, jadvalda faqat sodda algebraik strukturalar keltirib o‘tildi. Bulardan tashqari matematikada yanada murakkabroq bo‘lgan algebraik strukturalar, xususan, ideallar, modullar kabilar mavjud bo‘lib, ular ham nazariy ham amaliy matematikada qo‘llaniladi.

Moziyga nazar.

Algebraik strukturalar haqidagi maqolani avvalo guruh tushunchasini bayon qilish bilan boshlaganimiz bejiz emas. Sababi, guruh tushunchasini ifodalash birmuncha oson va fan tarixida ilk algebraik struktura ham aynan guruh bo‘lgan. Aslida, guruhlar bilan bog‘liq asosiy g‘oyalarini XVIII asrdayoq Jozef Lui Lagranj (1736-1813) va Paolo Ruffini (1765-1822) lar tomonidan o‘rtaga tashlagan bo‘lsa-da, biroq, «guruh» atamasini hozirgi mazmuniga yaqin ma’noda ilk bora Evarist Galua (1811-1832) tomonidan qo‘llangan. Biroq, Galua asarlaridagi «guruh» tushunchasi ko‘p o‘rinlarda «to‘plam» atamasi uchun sinonim sifatida ham qo‘llanadi. Guruh atamasiga aniq ta’rif berib, uni turli algebraik elementlarga tadbiq qilsa bo‘ladigan abstrakt obyekt sifatida bayon qilgan matematik bu Artur Keli (1821-1895) bo‘ladi. 1854 yilda «Falsafa Jurnali»da «Guruhlar nazariyasi haqida» degan nom bilan chop etilgan o‘z ilmiy maqolasida Keli u abstrakt elementlar ustida bajariladigan va natijasi ham aynan shu elementlar guruhiga taalluqli bo‘ladigan amallarni ko‘rib chiqadi. U paytlarda hozirgidek, to‘plamlar tushunchasi va guruhlarni ramziy belgilash amaliyoti mavjud bo‘lmagan. Keli maqolasida 1, α, β, … kabi belgilashlardan foydalangan. Operatsiya esa qiymatlar jadvali deb nomlangan jadval vositasida aniqlangan. Qiymatlar jadvali va har biri oltita elementdan tashkil topgan to‘plamlar uchun aniqlangan operatsiyalarni tekshirib chiqib, Keli, oltita elementlar ichida ikkita fundamental guruhlar mavjudligi haqida xulosaga kelgan.

Halqa tushunchasini esa, bir-biridan mustaqil ravishda Rixard Dedekind (1831-1916) va Leopold Kroneker (1823-1891) tomonidan «tartib» (orders) nomi ostida matematikaga kiritilgan. «Halqa» atamasini birinchi bo‘lib David Gilbert o‘zining 1897 yilda e’lon qilingan «Guruhlarning algebraik strukturasi haqida» deb nomlangan ilmiy ishida qo‘llagan. Guruhlarning algebraik strukturalar sifatida ta’riflanishi, halqalarning ham aniqlanishiga zamin tayyorladi. Halqa abstrakt tushunchasini birinchi bo‘lib, 1914 yilda matematik Abraxam Frenkel (1891-1965) tomonidan qo‘llangan. Biroq, Frenkel ta’riflagan va qo‘llagan halqa tushunchasi zamonaviy matematikada muqim o‘rnashib qolgan halqa tushunchasidan ancha farq qiladi. Zamonaviy talqindagi halqa va ideallar tushunchasini 1917 yilda Emmi Nyoter o‘zining «Halqalardagi ideallar nazariyasi» nomli ilmiy ishi orqali kiritgan. Matematika fani mutaxassislarning yakdillik bilan ta’kidlashicha, Emmi Nyoter va uning teoremalarining abstrakt algebrada tutgan o‘rni, xuddi Yevklid va uning teoremalarning planimetriya geometriyasidagi o‘rni kabi ahamiyatga ega. Umuman olganda, algebraik strukturalar tushunchasi bugungi kunda shunchaki nazariy matematika sohasi chegarasidan tashqariga chiqib ketgan. Algebraik strukturalar fizika, kimyo va ayniqsa informatika sohalarida o‘ta muhim ahamiyat kasb etmoqda. Guruhlar nazariyasi va algebraik strukturalar tushunchasisiz nisbiylik nazariyasi va kvant mexanikasini barpo qilish imkonsiz bo‘lgan bo‘lur edi…

Bizni ijtimoiy tarmoqlarda ham kuzatib boring:

Feysbukda: https://www.facebook.com/Orbita.Uz/

Tvitterda: @OrbitaUz

Google+ : https://plus.google.com/104225891102513041205/posts/

Telegramdagi kanalimiz: https://telegram.me/OrbitaUz

[1] Shunga e'tibor boringki, ushbu belgilarni tanlashdan maqsad, mutolaachiga to‘plam ichki amallari mutlaqo ixtiyoriy-tasodifiy tanlanayotganiga ishora qilishdir. Agar bular o‘rniga + va : belgilarining qo‘ysak, unda faqat qo‘shish va bo‘lish amallari aniqlangan to‘plamni halqa deb atash haqida noto‘g‘ri tasavvur uyg‘onib qolishi mumkin